Nilpotenz/Jordan Normalform < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mo 05.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Zeigen sie, die folgenden Matrizen sind nilpotent und berechnen sie deren jordansche Normalform.
a) [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1}
[/mm]
b) [mm] A=\pmat{ 4 & 6 & 8 & 2 \\ -2 & -3 & -4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & -4 & -1} [/mm] |
Hallo erstmal,
nur ne kleine Frage, muss ich hier wirklich zum nachweis der Nilpotenz die Matrizen solange auf sich selbst anweden bis die Nullmatrix rauskommt oder gibts noch nen anderen Weg nilpotenz zu beweisen?
danke im vorraus, Maxi
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Hallo maxi85,
> Zeigen sie, die folgenden Matrizen sind nilpotent und
> berechnen sie deren jordansche Normalform.
>
> a) [mm]A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1}[/mm]
>
> b) [mm]A=\pmat{ 4 & 6 & 8 & 2 \\ -2 & -3 & -4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & -4 & -1}[/mm]
>
> Hallo erstmal,
>
> nur ne kleine Frage, muss ich hier wirklich zum nachweis
> der Nilpotenz die Matrizen solange auf sich selbst anweden
> bis die Nullmatrix rauskommt oder gibts noch nen anderen
> Weg nilpotenz zu beweisen?
Da wird wohl kein anderer Weg dran vorbeiführen.
Siehe dazu hier: ![[]](/images/popup.gif) Nilpotente Matrix
>
>
> danke im vorraus, Maxi
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Fr 09.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
hab gerad bissl zeitmangel daher mach ich erstmal nur die nilpotenz. würde mich aber sehr freuen wenn dann irgendwann noch wer gucken kann ob ich das mit der jordanschen normalform richtig gemacht hab.
also
a) [mm] A=\pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1} A^2=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0} A^3=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
b) [mm] A=\pmat{ 4 & 6 & 8 & 2 \\ -2 & -3 & -4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ -2 & -3 & -4 & -1} A^2=\pmat{ 0 & -8 & 0 & 8 \\ 0 & 4 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & -4} A^3=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
danke im vorraus
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Hallo,
ja, Du hast das richtig gemacht, beachte aber unbedingt freds Hinweis: nilpotente Matrizen haben als einzigen Eigenwert die 0.
Mit diesem Wissen kannst Du Dir die Multipliziererei ersparen, sie könnte ja u.U. recht aufwendig sein, wenn Du eine 15x15_Matrix A hast, für die erstmals [mm] A^{14} [/mm] die Nullmatrix ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Mi 14.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
So familientreffen überstanden und wieder rein ins Matheleben. Also ich hab jetzt berechnet:
a)
rang [mm] A^3=0=\delta_{4}(A)
[/mm]
rang [mm] A^2=1=\delta_{3}(A)+2*\delta_{4}(A)
[/mm]
rang [mm] A^1=2=\delta_{2}(A)+2*\delta_{3}(A)
[/mm]
[mm] 3=\delta_{1}(A)+2*\delta_{2}(A)+3*\delta_{3}(A)
[/mm]
==> [mm] A=J_{3}(0)=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
b)
rang [mm] A^3=0=\delta_{4}(A)
[/mm]
rang [mm] A^2=1=\delta_{3}(A)+2*\delta_{4}(A)
[/mm]
rang [mm] A^1=2=\delta_{2}(A)+2*\delta_{3}(A)
[/mm]
[mm] 4=\delta_{1}(A)+2*\delta_{2}(A)+3*\delta_{3}(A)
[/mm]
==> [mm] A=J_{1}(0) \oplus J_{3}(0)=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
wäre nett wenn jemand von euch mal drüberschaun könnte, danke im vorraus, die maxi
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Hallo maxi85,
> So familientreffen überstanden und wieder rein ins
> Matheleben. Also ich hab jetzt berechnet:
>
> a)
>
> rang [mm]A^3=0=\delta_{4}(A)[/mm]
> rang [mm]A^2=1=\delta_{3}(A)+2*\delta_{4}(A)[/mm]
> rang [mm]A^1=2=\delta_{2}(A)+2*\delta_{3}(A)[/mm]
> [mm]3=\delta_{1}(A)+2*\delta_{2}(A)+3*\delta_{3}(A)[/mm]
>
> ==> [mm]A=J_{3}(0)=\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
>
> rang [mm]A^3=0=\delta_{4}(A)[/mm]
> rang [mm]A^2=1=\delta_{3}(A)+2*\delta_{4}(A)[/mm]
> rang [mm]A^1=2=\delta_{2}(A)+2*\delta_{3}(A)[/mm]
> [mm]4=\delta_{1}(A)+2*\delta_{2}(A)+3*\delta_{3}(A)[/mm]
>
> ==> [mm]A=J_{1}(0) \oplus J_{3}(0)=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
Stimmt auch.
Da A in beiden Fällen vom Nilpotenzgrad 3 ist, ist der längste Jordanblock von der Größe 3.
Im Fall a) ist das dann schon die Jordannormalform. Für den Fall b) gibt es dann für den zweiten Jordanblok nur noch eine Möglichkeit.
>
>
> wäre nett wenn jemand von euch mal drüberschaun könnte,
> danke im vorraus, die maxi
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:28 Mo 05.05.2008 | | Autor: | fred97 |
eine Matrix ist genau dann nilpotent, wenn sie nur den Eigenwert 0 hat
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:39 Mi 14.05.2008 | | Autor: | maxi85 |
Danke, werds mir merken!
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