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| Aufgabe | Sei T : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus mit Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Zeige: Die Nilpotenzordnung [mm] r(\lambda) [/mm] ist das kleinste r [mm] \in \IN [/mm] mit
Rang(T- [mm] \lambda ID_{V})^{r} [/mm] = Rang(T- [mm] \lambda ID_{V})^{r+1} [/mm] |
Hallo zusammen hab bei der Aufgabe leichte Probleme
Mein Ansatz ist wie folgt:
Nilpotenzordnung [mm] r(\lambda) [/mm] ist das kleinste r [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] F_{r+1}(\lambda) [/mm] = [mm] F_{r}(\lambda)
[/mm]
[mm] \gdw r(\lambda) [/mm] ist das kleinste r mit [mm] Kern(T-\lambda Id_{V})^{r} [/mm] = [mm] Kern(T-\lambda Id_{V})^{r+1}
[/mm]
soweit bin ich gekommen nun weiss ich leider nicht wie ich hier auf den Rang komme um Hilfe wäre ich sehr dankbar
gruß eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:23 Di 24.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo eddiebingel,
Ich nehme mal an, V soll endlich-dimensional sein?
Ich habe zwar keine Ahnung von Nilpotenzordnungen, aber zu zeigen ist offenbar, dass für die lineare Abbildung [mm] $S:=T-\lambda\operatorname{Id}_V$, [/mm] Folgendes gilt:
Die kleinste [mm] $r\in\IN$ [/mm] mit
(*) [mm] $\operatorname{Kern}(S^r)=\operatorname{Kern}(S^{r+1})$
[/mm]
stimmt überein mit dem kleinsten [mm] $r\in\IN$ [/mm] mit
(**) [mm] $\operatorname{Rang}(S^r)=\operatorname{Rang}(S^{r+1})$.
[/mm]
Es genügt also die Äquivalenz von (*) und (**) zu zeigen.
Nutze dazu die Dimensionsformel für lineare Abbildungen und die Tatsache [mm] $\operatorname{Kern}(S^r)\subseteq\operatorname{Kern}(S^{r+1})$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Hey Tobi schonmal danke für deine Hilfe
Hab es wie folgt weiter probiert :
dim [mm] Kern(S)^{r} [/mm] = dim [mm] Kern(S)^{r+1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] dim(V) - [mm] Rang(S)^{r} [/mm] = dim(V) - [mm] Rang(S)^{r+1}
[/mm]
[mm] \gdw Rang(S)^{r} [/mm] = [mm] Rang(S)^{r+1}
[/mm]
fertig?
lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey Tobi schonmal danke für deine Hilfe
> Hab es wie folgt weiter probiert :
> dim [mm]Kern(S)^{r}[/mm] = dim [mm]Kern(S)^{r+1}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] dim(V) - [mm]Rang(S)^{r}[/mm] = dim(V) - [mm]Rang(S)^{r+1}[/mm]
> [mm]\gdw Rang(S)^{r}[/mm] = [mm]Rang(S)^{r+1}[/mm]
> fertig?
Ja
FRED
> lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mi 25.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> dim [mm]Kern(S)^{r}[/mm] = dim [mm]Kern(S)^{r+1}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] dim(V) - [mm]Rang(S)^{r}[/mm] = dim(V) - [mm]Rang(S)^{r+1}[/mm]
> [mm]\gdw Rang(S)^{r}[/mm] = [mm]Rang(S)^{r+1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Zur Sicherheit: Warum gilt nun folgende Äquivalenz:
dim [mm] Kern($S^r$)= [/mm] dim [mm] Kern($S^{r+1}$) $\gdw$ Kern($S^r$)= Kern($S^{r+1}$)
[/mm]
Die Richtung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] ist klar, aber warum [mm] $\Rightarrow$?
[/mm]
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