Niveauflächen zu Polynom grad2 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Di 19.06.2012 | | Autor: | roybaer |
| Aufgabe | ein homogenes polynom vom grad 2 in 2 variablen x,y lässt sich schreiben als P(x,y) = [mm] (x,y)S(x,y)^T [/mm] mit symmetrischer 2x2 matrix S. für eine konstante c element R bezeichne [mm] M_c=P^-1({c}) [/mm] die niveaufläche bzgl P zum wert c. es sollen für eine lineare funktionen [mm] f:R^2->R, [/mm] (x,y)-> ax+by beispiele gesucht werden, bei denen f senkrechterstrichmitindex_Mc
a) kein minimum besitzt,
b) ihr minimum annimmt,
c) ihr maximum annimmt
d)kein maximum besitzt.
untersuchen sie den gradienten von P und von f an den stellen, wo ein extremum angenommen wird |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo liebe Mathefreunde,
dies ist das erste mal, dass ihr was von mir hört, jedoch war ich schon sehr sehr oft auf dieser Seite und sie hat mir auch gut geholfen, mich mit Müh und Not durch die nervigen Mathevorlesungen in meinem Physikstudium zu quälen.
Also, bislang hat es eigentlich ganz gut geklappt die Vorlesung nicht besuchen (ich muss leider auch arbeiten) und die nötigen Definitionen für die Lösung zu googlen, aber gerade steh ich wirklich dolle auf dem Schlauch. Ich weiß nicht was ich mit diesen Niveauflächen anfangen soll und wie ich überhaupt vorgehen soll, weder wie ich dazu den Gradienten bilde noch ob und wie ich die Hesse-Matrix bilden soll? Und wie sieht diese Matrix S aus? bzw. ist das überhaupt wichtig?
KURZUM: Was soll ich hier tun?
Ich freue mich sehr wenn du dir die Zeit nimmst und mir jeden noch so offensichtlichen Hinweis gibst, natürlich sind Erklärungen und kleine Stöße in die richtige Richtung der Lösung noch sehr viel lieber gesehen :p
nachtrag: manierlichkeiten eingefügt, verzeihung.
nachtrag2: also diese matrix S hab ich just 4 fun bestimmt, den gradienten von P und f hab ich natürlich allgemein gebildet (mittelschwere panik erschwert das denken)
aber ich hab immer noch kein plan wie ich aus diesen niveauflächen irgendwas rausbekommen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:14 Mi 20.06.2012 | | Autor: | meili |
Hallo roybaer,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ein homogenes polynom vom grad 2 in 2 variablen x,y lässt
> sich schreiben als P(x,y) = [mm](x,y)S(x,y)^T[/mm] mit symmetrischer
> 2x2 matrix S. für eine konstante c element R bezeichne
> [mm]M_c=P^-1({c})[/mm] die niveaufläche bzgl P zum wert c. es
> sollen für eine lineare funktionen [mm]f:R^2->R,[/mm] (x,y)-> ax+by
> beispiele gesucht werden, bei denen f
> senkrechterstrichmitindex_Mc
> a) kein minimum besitzt,
> b) ihr minimum annimmt,
> c) ihr maximum annimmt
> d)kein maximum besitzt.
> untersuchen sie den gradienten von P und von f an den
> stellen, wo ein extremum angenommen wird
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Hallo liebe Mathefreunde,
> dies ist das erste mal, dass ihr was von mir hört, jedoch
> war ich schon sehr sehr oft auf dieser Seite und sie hat
> mir auch gut geholfen, mich mit Müh und Not durch die
> nervigen Mathevorlesungen in meinem Physikstudium zu
> quälen.
>
> Also, bislang hat es eigentlich ganz gut geklappt die
> Vorlesung nicht besuchen (ich muss leider auch arbeiten)
> und die nötigen Definitionen für die Lösung zu googlen,
> aber gerade steh ich wirklich dolle auf dem Schlauch. Ich
> weiß nicht was ich mit diesen Niveauflächen anfangen soll
> und wie ich überhaupt vorgehen soll, weder wie ich dazu
> den Gradienten bilde noch ob und wie ich die Hesse-Matrix
> bilden soll? Und wie sieht diese Matrix S aus? bzw. ist das
> überhaupt wichtig?
> KURZUM: Was soll ich hier tun?
S könnte so aussehen:
$S = [mm] \pmat{ u & w \\ w & v }$ [/mm] mit $u,v,w [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dann ist P(x,y) = [mm](x,y)S(x,y)^T[/mm] = [mm] $ux^2+2wxy+vy^2$,
[/mm]
und die Niveaufläche bzgl P zum wert c:
[mm]M_c=P^-1(\{c\})[/mm] = [mm] $\{(x,y) \in \IR^2 | ux^2+2wxy+vy^2 = c\}$.
[/mm]
Vielleicht bestimmt man die Minima/Maxima von [mm]f|_{M_c}[/mm]
(was [mm]f:{M_c} \to \IR, (x,y) \mapsto ax+by [/mm] bedeutet) als Optimierungsproblem
mit der Nebenbedingung P(x,y) = c mit Hilfe der
![[]](/images/popup.gif) Lagrange-Multiplikatorenregel.
Zu "untersuchen sie den gradienten von P und von f an den
stellen, wo ein extremum angenommen wird" könnte folgendes
aus dem oben zitierten Wikipedia-Artikel nützen:
"Die ersten beiden Komponenten dieser Gleichung entsprechen dabei der
Forderung nach Parallelität der zwei ursprünglichen Gradienten und die
dritte Komponente [mm] $\nabla_{\lambda} \Lambda(x [/mm] , y, [mm] \lambda)=0$ [/mm] ist identisch mit g(x,y)=c."
Beachte auch:
"Punkte, bei denen der Gradient der Lagrangefunktion verschwindet,
werden auch kritische Punkte der Lagrangefunktion genannt. Da in
manchen Fällen nicht jeder kritische Punkt der Lagrangefunktion das
ursprüngliche Optimierungsproblem löst, liefert dieses Verfahren nur eine
notwendige Bedingung für die Lösung des Optimierungsproblems."
>
> Ich freue mich sehr wenn du dir die Zeit nimmst und mir
> jeden noch so offensichtlichen Hinweis gibst, natürlich
> sind Erklärungen und kleine Stöße in die richtige
> Richtung der Lösung noch sehr viel lieber gesehen :p
>
> nachtrag: manierlichkeiten eingefügt, verzeihung.
> nachtrag2: also diese matrix S hab ich just 4 fun
> bestimmt, den gradienten von P und f hab ich natürlich
> allgemein gebildet (mittelschwere panik erschwert das
> denken)
> aber ich hab immer noch kein plan wie ich aus diesen
> niveauflächen irgendwas rausbekommen soll.
Gruß
meili
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