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Guten abend Matheraum...
Ich habe leider gerade einen kleinen hänger bei folgender Aufgabe:
Skizziere ein paar Niveaulinien der Funktion
[mm] f:\IR^2 \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \to x^2+y^2-6x+2y+11
[/mm]
Mein erster Ansatz wäre nun zunächst eine quadratische Ergänzung...
[mm] \Rightarrow f:\IR^2 \to \IR, [/mm] (x,y) [mm] \to (x-3)^2+(y+1)^2+1
[/mm]
Bevor ich mich nun auf den Weg der Niveaulinien begebe, wollte ich fragen ob der Ansatz richtig gewählt wurde...
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Guten abend Matheraum...
>
> Ich habe leider gerade einen kleinen hänger bei folgender
> Aufgabe:
>
> Skizziere ein paar Niveaulinien der Funktion
>
> [mm]f:\IR^2 \to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\to x^2+y^2-6x+2y+11[/mm]
>
> Mein erster Ansatz wäre nun zunächst eine quadratische
> Ergänzung...
>
> [mm]\Rightarrow f:\IR^2 \to \IR,[/mm] (x,y) [mm]\to (x-3)^2+(y+1)^2+1[/mm]
>
> Bevor ich mich nun auf den Weg der Niveaulinien begebe,
> wollte ich fragen ob der Ansatz richtig gewählt wurde...
>
Ja, den Ansatz hast Du richtig gewählt.
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Super... Thank's for your help...
Komme ich nun zum eigentlichen Problem. Nämlich den Niveaulinien.
Ich Veranschauliche nun:
[mm] N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=C_0 \}, [/mm] mit [mm] C_0 \in \IR [/mm] beliebig
Es handelt sich ja nun um eine Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt (3,1) und dem Radius [mm] C_0 \in \IR [/mm] beliebig.
Mein Verständnisproblem sieht nun wie folgt aus:
Inwieweit geht das +1 noch mit ein? Also welche Ebene beschreibt es?
Ich hätte nun wie folgt argumentiert...
Setze ich [mm] C_0=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=1 \} [/mm] bzw. [mm] N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2=0 \}
[/mm]
Also handelt es sich um einen Punkt in (3,1)
Setze ich [mm] C_0=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=2 \} [/mm] bzw. [mm] N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2=1 \}
[/mm]
Also handelt es sich um einen Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt (3,1)
usw...
Mein Kommolitone schlägt vor, dass es sich am Ende um einen Kegel handelt. Doch leider kann ich dem nicht so ganz folgen.
Denn: Mein Radius wird zwar größer. Aber wandert doch nicht auf der z - Achse oder???
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Super... Thank's for your help...
>
> Komme ich nun zum eigentlichen Problem. Nämlich den
> Niveaulinien.
>
> Ich Veranschauliche nun:
>
> [mm]N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=C_0 \},[/mm] mit [mm]C_0 \in \IR[/mm]
> beliebig
>
> Es handelt sich ja nun um eine Kreisgleichung mit dem
> Mittelpunkt (3,1) und dem Radius [mm]C_0 \in \IR[/mm] beliebig.
>
Der Mittelpunkt ist doch (3,-1).
> Mein Verständnisproblem sieht nun wie folgt aus:
>
> Zunächst wollte ich schreiben:
>
> [mm]N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=C_0 \}.[/mm] Also
> [mm]C_0=-1[/mm] setzen. Doch leider kann ich mir nicht so richtig
> vorstellen wie ein Kreis mit dem Radius -1 aussehen soll
> und ob ich das überhaupt so machen darf...
>
Es steht doch hier: [mm](x-3)^2+(y+1)^2=C_0-1[/mm]
Die Gleichung ist doch nur erfüllbar für [mm]C_0-1 \ge 0[/mm]
> mfg thadod
Gruss
MathePower
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Hallo... und danke für deine Hilfe...
Ich hatte den Artikeltext nochmal bearbeitet, da mir ein paar Fehler aufgefallen waren
Hier die Aktuelle Version:
Super... Thank's for your help...
Komme ich nun zum eigentlichen Problem. Nämlich den Niveaulinien.
Ich Veranschauliche nun:
$ [mm] N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=C_0 \}, [/mm] $ mit $ [mm] C_0 \in \IR [/mm] $ beliebig
Es handelt sich ja nun um eine Kreisgleichung mit dem Mittelpunkt (3,-1) und dem Radius $ [mm] C_0 \in \IR [/mm] $ beliebig.
Mein Verständnisproblem sieht nun wie folgt aus:
Ich hätte nun wie folgt argumentiert...
Setze ich [mm] C_0=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=1 \} [/mm] bzw. [mm] N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2=0 \}
[/mm]
Also handelt es sich um einen Punkt in (3,-1)
Setze ich [mm] C_0=2
[/mm]
[mm] \Rightarrow N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=2 \} [/mm] bzw. [mm] N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2=1 \}
[/mm]
Also handelt es sich um einen Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt (3,-1)
usw...
Es muss, wie du bereits geschrieben hast, gelten, dass [mm] C_0-1 \ge [/mm] 0. Da es ja keinen Kreis mit negativem Radius gibt...
Mein Kommolitone schlägt vor, dass es sich am Ende um einen Kegel handelt, der sich vom Mittelpunkt (3,-1) nach oben hin auf der z - Achse ins unendliche vergrößert. Ebend für [mm] C_0 \in \IR [/mm] beliebig.
Doch leider kann ich dem nicht so ganz folgen.
Denn:
Mein Radius wird zwar größer. Aber wandert doch nicht auf der z - Achse oder???
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo... und danke für deine Hilfe...
>
> Ich hatte den Artikeltext nochmal bearbeitet, da mir ein
> paar Fehler aufgefallen waren
>
> Hier die Aktuelle Version:
>
>
> Super... Thank's for your help...
>
> Komme ich nun zum eigentlichen Problem. Nämlich den
> Niveaulinien.
>
> Ich Veranschauliche nun:
>
> [mm]N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=C_0 \},[/mm] mit [mm]C_0 \in \IR[/mm]
> beliebig
>
> Es handelt sich ja nun um eine Kreisgleichung mit dem
> Mittelpunkt (3,-1) und dem Radius [mm]C_0 \in \IR[/mm] beliebig.
>
> Mein Verständnisproblem sieht nun wie folgt aus:
>
> Ich hätte nun wie folgt argumentiert...
>
> Setze ich [mm]C_0=1[/mm]
> [mm]\Rightarrow N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=1 \}[/mm]
> bzw. [mm]N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2=0 \}[/mm]
> Also
> handelt es sich um einen Punkt in (3,-1)
>
> Setze ich [mm]C_0=2[/mm]
> [mm]\Rightarrow N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2+1=2 \}[/mm]
> bzw. [mm]N_{C_0}=\{(x,y) \in \IR | (x-3)^2+(y+1)^2=1 \}[/mm]
> Also
> handelt es sich um einen Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt
> (3,-1)
>
> usw...
>
>
> Es muss, wie du bereits geschrieben hast, gelten, dass
> [mm]C_0-1 \ge[/mm] 0. Da es ja keinen Kreis mit negativem Radius
> gibt...
>
> Mein Kommolitone schlägt vor, dass es sich am Ende um
> einen Kegel handelt, der sich vom Mittelpunkt (3,-1) nach
> oben hin auf der z - Achse ins unendliche vergrößert.
> Ebend für [mm]C_0 \in \IR[/mm] beliebig.
>
> Doch leider kann ich dem nicht so ganz folgen.
>
> Denn:
>
> Mein Radius wird zwar größer. Aber wandert doch nicht auf
> der z - Achse oder???
>
Genauer hat Dein Kommolitone den Mittelpunkt [mm](3,-1,\wurzel{C_{0}-1})[/mm]
gemeint.
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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Hallo...
Was genau soll das aber heißen ,,Genauer hat mein Kommolitone den Mittelpunkt [mm] (3,-1-,\sqrt{C_0-1}) [/mm] gemeint''?
Soll das heißen, dass er recht hat???
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Hallo...
>
> Was genau soll das aber heißen ,,Genauer hat mein
> Kommolitone den Mittelpunkt [mm](3,-1-,\sqrt{C_0-1})[/mm]
> gemeint''?
>
Alle Objekte (Kreise und ein Punkt) übereinander angeordnet
ergibt einen nach oben offenen Kegel.
> Soll das heißen, dass er recht hat???
>
Ja.
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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