Niveaulinien zeichnen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leith |
| Aufgabe | Aufgabenstellung:
Gegeben sei die Funktion [mm] f(x,y)=8x-2x^{2}-3y^{2}-18y
[/mm]
a)Zeichnen Sie die Höhenlinien von f im x-y Koordinatensystem.
b)Begründen Sie,dass diese Funktion im Punkt=(2,-3) ein absolutes Maximum besitzt. |
Hallo liebe Mathefreude,
ich hab Übermorgen eine Matheprüfung und wollte noch die letzte ungereimtheiten gerne weghaben.Ich hab bei a) leider keine Ahnung wie ich das hinbekommen soll.Ich hab es mal plotten lassen ud weiß das eine Ellipse rauskommen soll aber wie kann ich die Gleichung nach dieser Umstellen.Desweitern weiß ich nicht wie ich Begründen kann das die Funktion im Punkt(2,-3) ihr absolutes Maximum hat.Das einzige was ich kann ist das relative Maximum zu ermittelt.Also falls mir jemand dabei Helfen könnte wäre ich sehr froh.
Mit freundlichem Gruß
Leith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Sa 03.03.2012 | | Autor: | abakus |
> Aufgabenstellung:
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> Gegeben sei die Funktion [mm]f(x,y)=8x-2x^{2}-3y^{2}-18y[/mm]
> a)Zeichnen Sie die Höhenlinien von f im x-y
> Koordinatensystem.
> b)Begründen Sie,dass diese Funktion im Punkt=(2,-3) ein
> absolutes Maximum besitzt.
> Hallo liebe Mathefreude,
>
> ich hab Übermorgen eine Matheprüfung und wollte noch die
> letzte ungereimtheiten gerne weghaben.Ich hab bei a) leider
> keine Ahnung wie ich das hinbekommen soll.Ich hab es mal
> plotten lassen ud weiß das eine Ellipse rauskommen soll
> aber wie kann ich die Gleichung nach dieser
> Umstellen.Desweitern weiß ich nicht wie ich Begründen
> kann das die Funktion im Punkt(2,-3) ihr absolutes Maximum
> hat.Das einzige was ich kann ist das relative Maximum zu
> ermittelt.Also falls mir jemand dabei Helfen könnte wäre
> ich sehr froh.
>
> Mit freundlichem Gruß
>
> Leith
Hallo Leith,
du solltest versuchen, die binomischen Formeln anzuwenden (bwz. den gegebenen Funktionsterm so hinzubiegen, dass dies mit Hilfe der quadratischen Ergänzung möglich ist.
In [mm]8x-2x^{2}-3y^{2}-18y[/mm] kann man zunächst die Faktoren vor den Quadraten ausklammern:
[mm]8x-2x^{2}-3y^{2}-18y=-2(x^2-4x)-3(y^2+6y)[/mm],
und dann wird in beiden Klammern die quadratische Ergänzung addiert und wieder subtrahiert:
[mm]8x-2x^{2}-3y^{2}-18y=-2(x^2-4x)-3(y^2+6y)=-2(x^2-4x\red{+4-4})-3(y^2+6y\blue{+9-9})[/mm].
Das ergibt [mm]-2((x-2)^2-4)-3((y+3)^2-9)[/mm].
Dieser Term kann nun verschiedene Niveauwerte -nennen wir sie k- annehmen.
Die Gleichung <span class="math">[mm]-2((x-2)^2-4)-3((y+3)^2-9)=k[/mm] lässt sich für jedes negative k in eine Ellipsengleichung umformen.
</span>
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leith |
Nabend Mathepower,
abakus hat das bereits gemacht :
[mm] -2((x-2)^2-4)-3((y+3)^2-9)
[/mm]
Nun ist meine Frage wie krieg ich das in die Ellipsen-Form hin.
Hab das nicht wirklich verstanden wie man das machte deswegen farg ich nach.Und kannst Du mir auch beim Punkt b) irgendwie helfen oder Tipps geben?
gruß Leith
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Hallo,
wenn Du die Niveaulinien suchst, willst Du ja wissen, wo die Punkte (x|y) liegen, die für vorgegebenes k die Gleichung f(x,y)=k lösen.
Ihr hattet mit quadratischer Ergänzung gearbeitet, und abakus schrieb:
"Die Gleichung [mm] -2((x-2)^2-4)-3((y+3)^2-9)=k [/mm] $ lässt sich für jedes negative k in eine Ellipsengleichung umformen."
Diesem gehen wir jetzt mal auf den Grund.
Zunächst einmal halten wir fest:
[mm] -2((x-2)^2-4)-3((y+3)^2-9)=k
[/mm]
<==>
[mm] -2(x-2)^2+8-3(y+3)^2+27=k
[/mm]
<==>
[mm] 2(x-2)^2+3(y+3)^2=35-k
[/mm]
> Nun ist meine Frage wie krieg ich das in die Ellipsen-Form hin.
Um nun weitermachen zu können, müßtest Du erstmal sagen, wie die Ellipsenform denn aussieht. Sonst weiß man ja nicht, welches Ziel man ansteuern möchte.
Zur b)
Du weißt inzwischen, daß [mm] f(x,y)=-2(x-2)^2-3(y+3)^2+35.
[/mm]
Du siehst, daß f(2,-3)=35.
Überlege Dir nun, warum jeder andere Funktionswert kleiner als 35 sein muß...
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:15 So 04.03.2012 | | Autor: | leith |
Hallo angela.h.b.,
danke vielmals für die super Antworten.Also die allgemeine Ellipsen Form lautet doch:
[mm] \bruch{(x-x_0)^{2}}{a^{2}}+\bruch{(y-y_0)^{2}}{b^{2}}=1
[/mm]
Aber dann bekomme ich doch im Nenner irgendwas mit:
[mm] \bruch{2(x-2)^2}{35-k}+\bruch{3(y+3)^2}{35-k}=1 [/mm] heraus.
Ist das den wirklich richtig so?
Bei b) hab ich mir den Kopf zermatert, aber ich wüßte keinen Grund warum ich nur kleiner Funktionswert als 35 haben dürfte.Wenn der Wert Größer wäre, wäre beim Punkt (2,-3) nur nicht das absolute Maximum oder?Also vermute ich das du daraufhinaus willst das wenn es ein absolutes Maximum sein soll das die anderen Funktionswerte nicht größer sein dürften als mein globales Maximum im Punkt (2,-3) stimmt ds?
Gruß Leith
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Hallo leith,
> Hallo angela.h.b.,
>
> danke vielmals für die super Antworten.Also die allgemeine
> Ellipsen Form lautet doch:
>
> [mm]\bruch{(x-x_0)^{2}}{a^{2}}+\bruch{(y-y_0)^{2}}{b^{2}}=1[/mm]
>
> Aber dann bekomme ich doch im Nenner irgendwas mit:
>
> [mm]\bruch{2(x-2)^2}{35-k}+\bruch{3(y+3)^2}{35-k}=1[/mm] heraus.
>
> Ist das den wirklich richtig so?
>
Ja, das ist wirklich richtig so, allerdings nur für [mm]35-k \not=0[/mm]
> Bei b) hab ich mir den Kopf zermatert, aber ich wüßte
> keinen Grund warum ich nur kleiner Funktionswert als 35
Schau Dir hierzu die Quadrate an.
> haben dürfte.Wenn der Wert Größer wäre, wäre beim
> Punkt (2,-3) nur nicht das absolute Maximum oder?Also
> vermute ich das du daraufhinaus willst das wenn es ein
> absolutes Maximum sein soll das die anderen Funktionswerte
> nicht größer sein dürften als mein globales Maximum im
> Punkt (2,-3) stimmt ds?
>
Ja
> Gruß Leith
>
Gruss
MathePower
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> Hallo angela.h.b.,
>
> danke vielmals für die super Antworten.Also die allgemeine
> Ellipsen Form lautet doch:
>
> [mm]\bruch{(x-x_0)^{2}}{a^{2}}+\bruch{(y-y_0)^{2}}{b^{2}}=1[/mm]
Hallo,
genau.
Wir waren ja stehengeblieben bei
$ [mm] 2(x-2)^2+3(y+3)^2=35-k [/mm] $.
Man sieht sofort: das kann nur für [mm] k\le [/mm] 35 funktionieren!
Für k=35 ist die Höhen"linie" der Punkt (2|-3).
Für k<35:
> Aber dann bekomme ich doch im Nenner irgendwas mit:
>
> [mm]\bruch{2(x-2)^2}{35-k}+\bruch{3(y+3)^2}{35-k}=1[/mm] heraus.
>
> Ist das den wirklich richtig so?
Ja.
Wir können auch schreiben
[mm] $\bruch{(x-2)^2}{\wurzel{\bruch{35-k}{2}}^2}+\bruch{(y+3)^2}{\wurzel{\bruch{35-k}{3}}^2}=1$ [/mm] ,
und damit sind wir direkt bei der von Dir angegebenen Form und können Mittelpunkt und die Länge der Halbachsen ablesen.
>
> Bei b) hab ich mir den Kopf zermatert, aber ich wüßte
> keinen Grund warum ich nur kleiner Funktionswert als 35
> haben dürfte.
Wir hatten doch [mm] f(x,y)=-2(x-2)^2-3(y+3)^2+35=35-(2(x-2)^2+3(y+3)^2)
[/mm]
Außer wenn Du (2|-3) einsetzt, ist doch [mm] 2(x-2)^2+3(y+3)^2 [/mm] immer positiv, von 25 wird also immer etwas Positives abgezogen, so daß nur Ergebnisse <35 herauskommen können.
LG Angela
> Wenn der Wert Größer wäre, wäre beim
> Punkt (2,-3) nur nicht das absolute Maximum oder?Also
> vermute ich das du daraufhinaus willst das wenn es ein
> absolutes Maximum sein soll das die anderen Funktionswerte
> nicht größer sein dürften als mein globales Maximum im
> Punkt (2,-3) stimmt ds?
>
> Gruß Leith
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Sa 03.03.2012 | | Autor: | leith |
Hallo abakus,
danke für die Antwort erstmal.Das mit dem Ausklammer hab ich auch gemacht weiß aber nicht wie ich die Gleichung so umstellen kann so das es die Ellipsen form annimmt könntest Du oder jemand mir dabei Hlefen?Und habt Ihr noch einen tipp wegen dem b) Teil da weiß ich wirklich nicht wie ich das Begründen bzw. beweisen soll.
gruß Leith
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Hallo leith,
> Hallo abakus,
>
> danke für die Antwort erstmal.Das mit dem Ausklammer hab
> ich auch gemacht weiß aber nicht wie ich die Gleichung so
> umstellen kann so das es die Ellipsen form annimmt
Um f(x,y) auf Ellipsenform zu bringen,
ist die quadratische Ergänzung anwenden.
> könntest Du oder jemand mir dabei Hlefen?Und habt Ihr noch
> einen tipp wegen dem b) Teil da weiß ich wirklich nicht
> wie ich das Begründen bzw. beweisen soll.
>
Die Begründung ergibt sich aus der Ellipsenform.
> gruß Leith
Gruss
MathePower
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