Noch eine Formel erklärung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:35 Mi 10.10.2007 | | Autor: | larzarus |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{t}{ds(t)} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt} [/mm]
===> s(t) = [mm] s_{0} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt} [/mm] |
So kann mir das jetzt nochmal jemand erklären?
[mm] \integral_{0}^{t}{ds(t)} [/mm]
Das Integral also die Fläche der Funktion ds(t)
Hebt sich das nicht gegenseitig auf ? Einmal ist es doch ein Integral und ein ein Differentzial (auf und ableitung)?
[mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt} [/mm]
Das weiß ich nicht so recht.
[mm] s_{0}
[/mm]
Das ist klar Anfangstrecke...
[mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt} [/mm]
Das weiß ich nicht so recht.wieder das gleiche.
Wäre sehr nett danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Mi 10.10.2007 | | Autor: | Phecda |
hallo
das rechte integral ergibt gerade s(t).
Der Integrand ist 1. Und dies nach ds integriert ergibt die Stammfunktion s(t):
$ [mm] \integral_{0}^{t}{1*ds(t)} [/mm] $ = s(t) - s(0) .
Das Integral wird wie gewohnt nach dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung berechnet. (d.h. In die Stammfunktion die jeweiligen Grenzen einsetzen und subtraieren.)
gut physikalisch musst du nun s(0) interpretieren. das ist der Ort der Punktmasse zum zeitpunkt t =0. also gerade der anfangsort [mm] s_{0}. [/mm]
s(t) - [mm] s_{0} [/mm] = $ [mm] \integral_{0}^{t}{v(t) dt} [/mm] $
nach s(t) umgeformt gibt deine Gleichung.
Wir interpretieren diese Gleichung.
die Geschwindigkeit ist die zeitliche Ableitung des Weges nach der zeit ==> v = ds/dt ==> ds = v*dt
Integriert man gerade auf beiden Seiten erhält man deine Ausgangsgleichung.
Das heißt einfach, dass der zurückgelegte Weg einer Punktmasse im Geschwindigkeitszeitdiagramm als der Flächeninhalt unter der Geschwindigkeitskurve gedeutet werden kann.
Ich hoffe das ist klarer geworden
Gute Nacht mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 Fr 12.10.2007 | | Autor: | larzarus |
| Aufgabe | | Kannst du mir vielleicht ein leichtes rechen beispiel nennen |
1. Was ist denn dt was heißt das d =? Differential der Zeit?
[mm] 2.\integral_{0}^{t}{v(t) dt}
[/mm]
ich verstehe einfach nicht was dort steht.
also ich nehme die fläche unter der funktion v(t) mit den grenzen 0 und t.
aber was macht dort dieses dt und was bedeutet es?
Danke sorry das ich es nicht verstehe aber ich will verstehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:47 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du eine Steigung bestimmen willst, dann gehst du ja vom Differenzenquotienten aus. $m=(y1-y2)/x1-x2)$.
Die Differenzen kannst du so schreiben:
[mm] $m=\Delta [/mm] y - [mm] \Delta [/mm] x$.
Wenn du dich an die Steigung der Tangente erinnerst, dann lässt du ja den Abstand der beiden Punkte sehr klein werden. Dadurch werden dann die Differenzen auch sehr sehr klein, deshlab schreibt man dann, um das zu symbolisieren anstatt [mm] $\Delta [/mm] x$ dx und anstatt [mm] $\Delta [/mm] y$ dy.
So gilt also: m=ds/dt
So gilt also, dass ds eine Streckendifferenz ist und dt eine sehr kleine Zeitdifferenz.
Das mit der Fläche unter der Kurve von v(t) stimmt. Das ist die geometrische Deutung.
Das dt hinter dem Integral bedeutet, dass du nach t integrierst, also t deine Integrationsvarible ist.
Wenn dort stünde [mm] $\int [/mm] v(t)ds$ oder ähnlich, dann würdest du nach s integrieren und nicht nach t, dann müsstest du anders vorgehen.
Also, wenn dann dort steht [mm] $\int [/mm] v(t)dt$ dann integrierst du v(t) nach der Zeit. Heraus kommt dann die zurückgelegte Strecke, denn s=v*t, wenn v konstant, und das kann man annehmen, wenn man v(t) in sehr kleine Abschnitte unterteilt, und dann mit einem sehr kleinen t multipliziert (das ist ja auch der Grundgedanke der Integralrechnung).
Also bekommst du bei [mm] $\int [/mm] v(t) dt$ s(t) heraus.
LG
Kroni
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