Noch mal Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | | Bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln(4n+2)-ln(n+8) |
| Aufgabe 2 | | Für welche [mm] x\in(0,\infty) [/mm] existiert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(ln (x))^n [/mm] |
Hallo nochmal,
bei der ersten Aufgabe bin ich nicht ganz sicher, ob meine Lösung richtig ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ln(4n+2)-ln(n+8)=\limes_{n\rightarrow\infty} ln\bruch{4n+2}{n+8}=\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln [mm] \bruch{4+\bruch{2}{n}}{1+\bruch{8}{n}}=ln [/mm] 4
Die zweite Aufgabe:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(ln (x))^{n}=0 [/mm] für [mm] ln(x)\le [/mm] 1
Für ln(x)>1 divergiert die Folge gegen [mm] \infty.
[/mm]
Kommt das so hin?
Gruß,
Honko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Di 06.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Palisaden-Honko!
Diese Aufgabe hast Du korrekt gelöst. ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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Danke! So langsam schöpfe ich Hoffnung für die Klausur :)
Gruß,
Honko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Di 06.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Palisaden-Honko!
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(ln (x))^{n}=0[/mm] für [mm]ln(x)\le[/mm] 1
Das ist zu ungenau. Dies ist erfüllt für:
[mm] $$\red{\left|} [/mm] \ [mm] \ln(x) [/mm] \ [mm] \red{\right|} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ 1$$
Oder noch genauer:$$-1 \ < \ [mm] \ln(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$$
Dann musst Du noch die entsprechenden x-Werte bestimmen.
> Für ln(x)>1 divergiert die Folge gegen [mm]\infty.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Müsste es nicht sogar -1<ln(x)<1 heißen? Bei [mm] \pm1^{n} [/mm] würde ich doch [mm] \pm1 [/mm] rauskriegen und nicht null, es existiert also kein Grenzwert.
Und die Werte erhalte ich dann über [mm] a=e^b \gdw [/mm] b=ln(a):
ln(x)<|1| [mm] \gdw \bruch{1}{e}
Gruß,
Honko
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Di 06.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Palisaden-Honko!
> Müsste es nicht sogar -1<ln(x)<1 heißen?
Für den Grenzwert $... \ = \ 0$ hast Du natürlich Recht.
Aber auch für [mm] $\ln(x) [/mm] \ = \ +1$ konvergiert die Folge: nur halt gegen $+1_$ .
> Bei [mm]\pm1^{n}[/mm] würde ich doch [mm]\pm1[/mm] rauskriegen
> und nicht null, es existiert also kein Grenzwert.
Siehe oben: für [mm] $\ln(x) [/mm] \ = \ -1$ gibt es wirklich keinen Grenzwert.
> Und die Werte erhalte ich dann über [mm]a=e^b \gdw[/mm] b=ln(a):
> ln(x)<|1| [mm]\gdw \bruch{1}{e}
Du meinst das Richtige; und das Endergebnis stimmt auch.
Aber Du musst schreiben:
[mm] $$|\ln(x)| [/mm] \ < \ 1$$
Gruß
Loddar
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