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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
| Aufgabe | | Berechne das Kurvenintegral [mm]\integral_{\gamma}{f(z) dz}[/mm] für die Funktion [mm]f(z) := \bruch{1}{z^{2} + 2iz + 3}[/mm] und [mm] \gamma [/mm] gleich dem positiv orientierten Kreis um 0 mit Radius 2. |
Hi,
wie ich oben stehende Aufgabe löse, weiß ich eigentlich schon so ungefähr. Also ich berechne erstmal die isolierten Singularitäten und berechne das Integral dann mit dem Residuensatz.
Mein Problem ist jetzt nur, dass ich das mit der Ordnung von Polen nicht ganz so verstanden hab.
Die Singularitäten rechne ich entweder mit der Mitternachts- oder der PQ-Formel aus, und dabei kommen als iso. Sing. raus:
[mm]z_{0} = -3i[/mm] und [mm]z_{1} = i[/mm].
Da nur [mm]z_{1} = i[/mm] innerhalb des Kreises um 0 mit Raidus 2 liegt, kann ich die iso. Sing. in [mm]z_{0}[/mm] ja ignorieren.
Aber welche Ordnung hat dieser Pol bei [mm]z_{1} = i[/mm] jetzt?
Eigentlich würde ich sagen Ordnung 2, da ich ja [mm]f(z) := \bruch{1}{z^{2} + ...}[/mm] hab, aber dann bekomm ich kein gescheites Residuum raus...
Kann mir da jemand helfen?
Danke,
Jonas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Mi 01.08.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jonas,
Regel bei rationalen Funktionen: die Ordnung der Pole ist die Vielfachheit der entsprechenden Nullstellen des Nenners minus die Vielfachkeit der Nullstellen des Zählers. Das bekommst du sofort aus dem Fundamentalsatz der Algebra: zerlege Zähler und Nenner in Linearfaktoren und dividiere gleiche Faktoren aus (Hebung der Singularität).
In deinem Fall ist [mm]f(z) = \bruch{1}{(z-z_0)(z-z_1)}[/mm], also hat dein Nenner hat nur einfache Nullstellen, also sind beides Pole erster Ordnung.
Du siehst an dieser Form auch, dass das Residuum im Punkt [mm]z_1[/mm] gerade [mm]\bruch{1}{z_1-z_0}[/mm] ist.
Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Mi 01.08.2007 | | Autor: | Jonez |
Ha perfekt, Danke !!!
Jetzt hab ich das auch endlich mal verstanden :)
Danke !!,
Jonas
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