Nochmal Quantile < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe zwar den Thread über Quantile gelesen und den an sich auch verstanden, doch ich habe nun eine Aufgabe bekommen, wo sich das Quantil auf eine Exponential Verteilung bezieht und ich nichts damit anfangen????
Die Aufgabe:
Bestimmen des Medians und das 0,1-Quantil von der Verteilung [mm] f(t)=\lambda e^{-\lambda t} [/mm]
Kann mir da jemand helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Do 13.05.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Fetteratte (ich will dich nicht beleidigen  ),
es geht also um die Exponentialverteilung. Kein Problem, die haben wir gut im Griff.
Zunächst mal ein paar allgemeine Bemerkungen:
Es sei [mm]0 < p< 1[/mm] und [mm]F[/mm] die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen $X$. Dann heißt die Zahl
[mm]x_p= \sup\{x \in \IR\, :\, F(x) < p\} = \inf\{x \in \IR\, : \, F(x) \ge p\}[/mm]
das $p$-Quantil von $X$. Ist die Verteilungsfunktion $F$ der Zufallsvariablen $X$ streng monoton steigend und stetig, so ist das $p$-Quantil eindeutig bestimmt durch die Gleichung
[mm]F(x_p)=p[/mm].
Das $0.5$-Quantil heißt Median von $X$.
So, wie lautet denn die Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit Parameter [mm] $\lambda$, [/mm] also die Verteilungsfunktion, die zu der Dichte $f(t) = [mm] \lambda e^{-\lambda t}$ [/mm] gehört?
Nun ja, das rechnen wir mal schnell aus:
$F(x) = [mm] \int_{0}^x f(t)\, [/mm] dt = [mm] \int_{0}^x \lambda e^{-\lambda t}\, [/mm] dt = [mm] -e^{-\lambda t}\big\vert_{0}^x [/mm] = 1 - [mm] e^{-\lambda x}$.
[/mm]
Offenbar ist $F$ stetig und streng monoton wachsend.
Wir müssen also für den Median [mm] $x_{0.5}$ [/mm] die Gleichung
$0.5 = [mm] F(x_{0.5}) [/mm] = 1 - [mm] e^{-\lambda x_{0.5}}$
[/mm]
und für das $0.1$-Quantil [mm] $x_{0.1}$ [/mm] die Gleichung
$0.1 = [mm] F(x_{0.1}) [/mm] = 1 - [mm] e^{-\lambda x_{0.1}}$
[/mm]
lösen.
Das schaffst du!! 
Melde dich mal mit deinen Ergebnissen!
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
So, nach längerer Überlegung ist es mir dann auch klar geworden =)
Ich habe immer nur Probleme, wenn meine erste Übungsaufgabe schon gleich mit solchen Variablen zu berechnen ist und nicht mit konkreten Zahlen ;)
[mm] x_{0.5} = { ln (0.5) \br -\lambda }
und
x_{0.1} = { ln(0.1) \br -\lambda } [/mm]
das sollte doch richtig sein oder?
Vielen Dank für den Denkanstoß :D
cu
Bianca
PS.: Fetteratte sehe ich ja nicht als Beleidigung, sonst hätte ich es mir nicht als Nick ausgesucht ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:01 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Bianca,
bei [mm] $x_{0.5}$ [/mm] sollte das dann so stimmen ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Aber bei [mm] $x_{0.1}$ [/mm] hast du etwas zu schnell gerechnet:
[mm] 0.1=1-e^{-\lambda x_{0.1}}
\gdw
e^{-\lambda x_{0.1}}=0.9
\gdw
-\lambda x_{0.1}=ln(0.9)
\gdw
x_{0.1}=\bruch{ln(0.9)}{-\lambda}
[/mm]
Viele Grüße
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:37 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Fetteratte |
Stimmt, Flüchtigkeitsfehler ;) Danke nochmal!
|
|
|
|
