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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Do 08.05.2008 | | Autor: | side |
| Aufgabe | | Es sei [mm] V=\left\{f:[0,1]\to\IR stetig\right\}. [/mm] Betrachte [mm] ||*||:V\to\IR,f\mapsto{max_{x\in[0,1]}\left\{f(x)\right\}}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \parallel*\parallel [/mm] eine Norm auf V definiert. Ist [mm] \parallel*\parallel [/mm] von einem Skalarprodukt induziert? |
Der erste Aufgabenteil ist glaub ich noch machbar, man muss einfach die Axiome für eine Norm durchtesten (positiv-definitheit, [mm] \parallel{x}\parallel=0\Rightarrow{x=0}, [/mm] Dreiecksungl., Homogenität). Aber beim zweiten Teil habe ich wieder das Problem mit der Induzierung...was ist damit gemeint?
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> Es sei [mm]V=\left\{f:[0,1]\to\IR stetig\right\}.[/mm] Betrachte
> [mm]||*||:V\to\IR,f\mapsto{max_{x\in[0,1]}\left\{f(x)\right\}}.[/mm]
Oder [mm] $f\mapsto \max_{x\in[0,1]}\left|f(x)\right|$ [/mm] ??
> Zeigen Sie, dass [mm]\parallel*\parallel[/mm] eine Norm auf V
> definiert. Ist [mm]\parallel*\parallel[/mm] von einem Skalarprodukt
> induziert?
> Der erste Aufgabenteil ist glaub ich noch machbar, man
> muss einfach die Axiome für eine Norm durchtesten
> (positiv-definitheit,
> [mm]\parallel{x}\parallel=0\Rightarrow{x=0},[/mm] Dreiecksungl.,
> Homogenität).
Apropos Positiv-Definitheit: hast Du bei der Definition dieser Norm nicht das Betragszeichen unterschlagen (oder stehen die geschweiften Klammern um $f(x)$ für den Betrag)?
> Aber beim zweiten Teil habe ich wieder das
> Problem mit der Induzierung...was ist damit gemeint?
Gefragt wird, ob es ein Skalarprodukt [mm] $(\;\; |\;\; ):\; V\times V\rightarrow \IR$ [/mm] für diesen Vektorraum gibt, so dass für alle [mm] $f\in [/mm] V$ gilt: [mm] $\parallel f\parallel [/mm] = [mm] \sqrt{(f|f)}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Sa 10.05.2008 | | Autor: | side |
hallo soebody...ich denke, dass die definition de norm auch so sinn macht. Es ist einfach gefordert, dass die norm von f definiert ist als das maximum der menge aller funktionswerte auf dem intervall [0,1]; berichtige mich bitte, wenn ich da falsch liege...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Sa 10.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
von eine norm fordert man doch in der regel [mm] $\|x\| \geq [/mm] 0$ für alle $x$. das ist im fall ohne die betragszeichen nicht gegeben: betrachte zum beispiel $f(x) = -1$.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Di 13.05.2008 | | Autor: | Damn88 |
Hallo,
unsere Definiton einer Norm:
"Sei V ein [mm] \IK-Vektorraum. [/mm] Eine Norm auf V ist eine Abbildung: [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel: [/mm] V -> [mm] \IR [/mm] s.d. gilt:
N1) [mm] \forall \lambda \in \IK, \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: [mm] \parallel\lambda*v\parallel [/mm] = [mm] |\lambda|*\parallel v\parallel
[/mm]
N2) [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V: [mm] \parallel [/mm] v+w [mm] \parallel [/mm] <= [mm] \parallel v\parallel+\parallel w\parallel
[/mm]
N3) [mm] \forall [/mm] v [mm] \in [/mm] V: [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel=0 [/mm] <=> v=0
Ich habe jetzt dem Assistenen des Professors eine Email geschickt und gefragt, ob da Betragstriche in der Aufgabestellung fehlen.
Hier meine Ansätze ohne Betragsstriche:
N1) [mm] \parallel \lambda [/mm] *f [mm] \parallel [/mm] = [mm] max_{x \in [0,1]} (\lambda*f)(x)
[/mm]
für [mm] \lambda [/mm] >0 kann ich es aus dem max ziehen, da es es nur vergrößert => [mm] \lambda *max_{x \in [0,1]} [/mm] f(x) = [mm] \lambda [/mm] * [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel
[/mm]
für [mm] \lambda [/mm] <0 gilt ja für y>x mit x<0 und y>0 und |x|>y: [mm] \lambda*x [/mm] > [mm] \lambda*y
[/mm]
wie kann ich denn dann hier das [mm] \lambda [/mm] aus dem max ziehen?
ich weiß nicht, ob ich hier grad einen Denkfehler mache:
[mm] \lambda [/mm] * [mm] max_{x \in [0,1]} [/mm] -f(x)??
Aber es hat auf jede Fall nicht die Form [mm] |\lambda|* \parallel [/mm] f [mm] \parallel
[/mm]
Wenn jedoch Betragszeichen in der Aufgabenstellung wären, würde es hinhauen.
[mm] N2)\parallel [/mm] f+g [mm] \parallel [/mm] = [mm] max_{x \in [0,1]} [/mm] (f+g)(x) =(??weiß nicht, ob das ohne betrag geht?) [mm] max_{x \in [0,1]} [/mm] f(x)+g(x)
Mit [mm] Betrag:\parallel [/mm] f+g [mm] \parallel [/mm] = [mm] max_{x \in [0,1]} [/mm] |f+g|(x) <= [mm] max_{x \in [0,1]} [/mm] |f|(x) + |g|(x) [mm] =max_{x \in [0,1]} [/mm] |f|(x) + [mm] max_{x \in [0,1]}|g|(x)= \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] g [mm] \parallel
[/mm]
Würde das denn so stimmen?
N3)
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel [/mm] =0
<=> [mm] max_{x \in [0,1]} [/mm] f(x) =0
Wie kann man denn hier weiter machen?
Danke für eure Hilfe!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 13.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo,
> unsere Definiton einer Norm:
> "Sei V ein [mm]\IK-Vektorraum.[/mm] Eine Norm auf V ist eine
> Abbildung: [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel:[/mm] V -> [mm]\IR[/mm] s.d. gilt:
> N1) [mm]\forall \lambda \in \IK, \forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V:
> [mm]\parallel\lambda*v\parallel[/mm] = [mm]|\lambda|*\parallel v\parallel[/mm]
>
> N2) [mm]\forall[/mm] v,w [mm]\in[/mm] V: [mm]\parallel[/mm] v+w [mm]\parallel[/mm] <= [mm]\parallel v\parallel+\parallel w\parallel[/mm]
>
> N3) [mm]\forall[/mm] v [mm]\in[/mm] V: [mm]\parallel[/mm] v [mm]\parallel=0[/mm] <=> v=0
>
> Ich habe jetzt dem Assistenen des Professors eine Email
> geschickt und gefragt, ob da Betragstriche in der
> Aufgabestellung fehlen.
Es müssen auf jeden Fall Betragsstriche hin! Also [mm] \parallel f\parallel [/mm] = [mm] \underset{x\in [0,1]}{max} [/mm] |f(x)|, denn eine Norm ist immer positiv definit.
> Hier meine Ansätze ohne Betragsstriche:
>
> N1) [mm]\parallel \lambda[/mm] *f [mm]\parallel[/mm] = [mm]max_{x \in [0,1]} (\lambda*f)(x)[/mm]
>
> für [mm]\lambda[/mm] >0 kann ich es aus dem max ziehen, da es es nur
> vergrößert => [mm]\lambda *max_{x \in [0,1]}[/mm] f(x) = [mm]\lambda[/mm] *
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm]
> für [mm]\lambda[/mm] <0 gilt ja für y>x mit x<0 und y>0 und |x|>y:
> [mm]\lambda*x[/mm] > [mm]\lambda*y[/mm]
> wie kann ich denn dann hier das [mm]\lambda[/mm] aus dem max
> ziehen?
> ich weiß nicht, ob ich hier grad einen Denkfehler mache:
> [mm]\lambda[/mm] * [mm]max_{x \in [0,1]}[/mm] -f(x)??
>
> Aber es hat auf jede Fall nicht die Form [mm]|\lambda|* \parallel[/mm]
> f [mm]\parallel[/mm]
> Wenn jedoch Betragszeichen in der Aufgabenstellung wären,
> würde es hinhauen.
>
Deswegen gehören die da auch hin.
> [mm]N2)\parallel[/mm] f+g [mm]\parallel[/mm] = [mm]max_{x \in [0,1]}[/mm] (f+g)(x)
> =(??weiß nicht, ob das ohne betrag geht?) [mm]max_{x \in [0,1]}[/mm]
> f(x)+g(x)
> Mit [mm]Betrag:\parallel[/mm] f+g [mm]\parallel[/mm] = [mm]max_{x \in [0,1]}[/mm]
> |f+g|(x) <= [mm]max_{x \in [0,1]}[/mm] |f|(x) + |g|(x) [mm]=max_{x \in [0,1]}[/mm]
> |f|(x) + [mm]max_{x \in [0,1]}|g|(x)= \parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm] +
> [mm]\parallel[/mm] g [mm]\parallel[/mm]
>
> Würde das denn so stimmen?
>
Mit Betragsstrichen...ja.
> N3)
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel[/mm] =0
> <=> [mm]max_{x \in [0,1]}[/mm] f(x) =0
> Wie kann man denn hier weiter machen?
>
Mit den Betragstrichen steht da |f(x)|=0 für alle [mm] x\in [/mm] [0,1], also [mm] f\equiv [/mm] 0.
> Danke für eure Hilfe!!
Wegen der anderen Teilaufgabe.... ![[]](/images/popup.gif) Parallelogrammgleichung ganz unten den Absatz durchlesen.
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