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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo wir haben im Skript ein Beispiel von einer Norm gegeben die für die es kein inneres Produkt sigma gibt.
Bsp.: Auf [mm] \IR^2 [/mm] ist || ||: [mm] \IR^2 ->\IR [/mm] mit ||(x,y)|| := max(|x|,|y|) eine Norm
("Maximumsnorm"), für die es aber kein inneres Produkt sigma gibt mit || ||
= || [mm] ||_{sigma}
[/mm]
Wie zeige ich nun dass hier kein inneres Produkt induziert wird?
Wahrscheinlich muss ich die 3 Eigenschaften die für einen unitären Raum gelten widerlegen für diese Maximumsnorm, also
z.b.: [mm] \forall [/mm] V in V: [mm] ||v||_{sigma} [/mm] >= 0 und [mm] ||v||_{sigma} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] v=0
Wie gehe ich an das Ganze heran und stimmt meine Vermutung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:08 Sa 21.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Hallo wir haben im Skript ein Beispiel von einer Norm
> gegeben die für die es kein inneres Produkt sigma gibt.
Benutze bitte in Zukunft den Formeldeitor - dann kann man das lesen, was du da hinschreibst.
> Wie zeige ich nun dass hier kein inneres Produkt induziert
> wird?
Soll heissen: die Norm ist von keiner symmetrischen Bilinearform induziert, oder?
Jetzt nehme mal an das wäre so, dann kannst du x als Summe der beidenm Einheistvektoren schreiben - setze da mal ins Quadrat (! Warum?) der Bilinearform ein, die angeblich die Maximumsnorm induziert - rechne mal rum, kommst du auf einen Widerspruch?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo..ich kapier noch nicht ganz was du meinst mit
>Jetzt nehme mal an das wäre so, dann kannst du x als Summe der beidenm >Einheistvektoren schreiben - setze da mal ins Quadrat (! Warum?) der >Bilinearform ein, die angeblich die Maximumsnorm induziert
||(x,y)|| = [mm] \wurzel{x * E * y^{t}}...das [/mm] wäre die Norm wenn sie von einem
inneren Produkt induziert wird oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Wäre [mm] $\Vert \cdot [/mm] Vert$ von einer Bilinearform induziert, dann müsste [mm] $\Vert \cdot \Vert$ [/mm] die Parallelogrammgleichung
$2 [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] + 2 [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] x+y [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \Vert [/mm] x-y [mm] \Vert^2$
[/mm]
erfüllen (für beliebige $x,y [mm] \in \IR^2$).
[/mm]
Aber diese wird nicht von [mm] $x=\pmat{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $y=\pmat{0 \\ 1}$ [/mm] erfüllt.
Prüfe das doch bitte mal nach. 
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 21.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...stimmt die Gleichung wird nicht erfüllt.
$ 2 [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] + 2 [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] x+y [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \Vert [/mm] x-y [mm] \Vert^2 [/mm] $
Wenn ich jetzt die Basis einsetzte kommt raus:
2+2 = 2
und 4 != 2
Aber was hat das jetzt mit dem konkreten Beispiel der Maximumsnorm zu tun?
Das könnte ich doch für jede beliebige Abbildungsfunktion einsetzen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Di 24.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Reaper!
Bei Normen, die von einem Skalarprodukt induziert sind, ist diese Identität ("Parallelogrammgleichung") immer erfüllt. Erfüllt eine Norm diese Gleichung für ein Paar $(x,y)$ nicht (so wie die Maximumsnorm), so ist sie zwangsläufig von keinem Skalarprodukt induziert, d.h. es gibt kein Skalarprodukt [mm] $\delta$ [/mm] mit
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{\delta(x,x)}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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