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Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:46 Di 08.06.2004
Autor: Moni

Hallo ich soll zeigen,dass f(x)=x(transponiert)Ax genau dann eine Norm ist,wenn A positiv definit. Gezeigt habe ich scho Definitheit und Homogenität.Mir fehlt noch die Dreicksungleichung.
Wäre nett,wenn mir jemand helfen könnte.
Schon mal danke im voraus
Moni

        
Bezug
Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Di 08.06.2004
Autor: Stefan

Liebe Moni!

Du sollst also zeigen, dass durch

$f(x) = [mm] \sqrt{x^TAx}$ [/mm]

(hier hattest du die Wurzel vergessen!)

im Falle einer symmetrischen, positiv definiten $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $A$ eine Norm auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm]
definiert ist.

Ich rate dir Folgendes zu tun:

Zeige einfach, dass unter den obigen Voraussetzungen durch

$<x,y>_A:= x^TAx$

ein Skalarprodukt auf dme [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben ist.

(Das ist ja einfach: Die Bilinearität ist sonnenklar, und die positive Definitheit hast du ja schon gezeigt, wie du  schreibst.)

Dann weißt du sicherlich Folgendes aus der Vorlesung:

Hat man ein Skalarprodukt [mm] $<\cdot,\cdot>$ [/mm] gegeben, so wird durch:

[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert:= \sqrt{}$ [/mm]

eine Norm gegeben. (Die Dreiecksungleichung folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.)

Daraus folgt dann die obige Behauptung.

Melde dich einfach bei weiteren (Rück-)Fragen im Matheraum.

Liebe Grüße
Stefan



Bezug
                
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Norm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:41 Di 15.06.2004
Autor: Moni

Danke für die schnelle Antwort,Habe es denn aber doch ein wenig anders gemacht,nämlich mit der [mm] LL^t [/mm] Zerlegung,wir sind ämlich in Numerik.
Noch mal danke und gruß
Moni

Bezug
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