Norm < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:46 Di 08.06.2004 | | Autor: | Moni |
Hallo ich soll zeigen,dass f(x)=x(transponiert)Ax genau dann eine Norm ist,wenn A positiv definit. Gezeigt habe ich scho Definitheit und Homogenität.Mir fehlt noch die Dreicksungleichung.
Wäre nett,wenn mir jemand helfen könnte.
Schon mal danke im voraus
Moni
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:28 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Moni!
Du sollst also zeigen, dass durch
$f(x) = [mm] \sqrt{x^TAx}$
[/mm]
(hier hattest du die Wurzel vergessen!)
im Falle einer symmetrischen, positiv definiten $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix $A$ eine Norm auf dem [mm] $\IR^n$ [/mm]
definiert ist.
Ich rate dir Folgendes zu tun:
Zeige einfach, dass unter den obigen Voraussetzungen durch
$<x,y>_A:= x^TAx$
ein Skalarprodukt auf dme [mm] $\IR^n$ [/mm] gegeben ist.
(Das ist ja einfach: Die Bilinearität ist sonnenklar, und die positive Definitheit hast du ja schon gezeigt, wie du schreibst.)
Dann weißt du sicherlich Folgendes aus der Vorlesung:
Hat man ein Skalarprodukt [mm] $<\cdot,\cdot>$ [/mm] gegeben, so wird durch:
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert:= \sqrt{}$
[/mm]
eine Norm gegeben. (Die Dreiecksungleichung folgt aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung.)
Daraus folgt dann die obige Behauptung.
Melde dich einfach bei weiteren (Rück-)Fragen im Matheraum.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Di 15.06.2004 | | Autor: | Moni |
Danke für die schnelle Antwort,Habe es denn aber doch ein wenig anders gemacht,nämlich mit der [mm] LL^t [/mm] Zerlegung,wir sind ämlich in Numerik.
Noch mal danke und gruß
Moni
|
|
|
|
