Norm - Polarisationsidentität < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Fr 09.11.2012 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Bezeiche im folgenden [mm] \parallel [/mm] · [mm] \parallel_{2} [/mm] die Euklidische Norm auf dem [mm] R^{n} [/mm] . Dann gilt die
Polarisationsidentität, d.h. für alle x, y [mm] ∈R^{n} [/mm] gilt:
[mm] (x,y)=\bruch{1}{2}(\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel_{2}^{2} [/mm] - [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}^{2} [/mm] - [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{2}^{2}). [/mm] |
N'Abend,
ich plane oben genannte Aufgabe korrekt zu lösen und habe mich dazu in diverser Literatur versucht schlau zu machen.
Einen Lösungsvorschlag habe ich schon, allerdings weiß ich nicht, ob ich dass so machen kann ...
[mm] \bruch{1}{2}[\parallel [/mm] x+y [mm] \parallel_{2}^{2} [/mm] - [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}^{2} [/mm] - [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{2}^{2}]= \bruch{1}{2}[(x+y,x+y)-(x,x)-(y,y)]=\bruch{1}{2}[(x,x)+2(x,y)+(y,y)-(x,x)-(y,y)]=\bruch{1}{2}[2(x,y)]=(x,y)
[/mm]
Es wäre ganz lieb, wenn jemand drüberschauen kann und seinen Senf entsprechend dazu gibt.
Silfide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:00 Sa 10.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bezeiche im folgenden [mm]\parallel[/mm] · [mm]\parallel_{2}[/mm] die
> Euklidische Norm auf dem [mm]R^{n}[/mm] . Dann gilt die
> Polarisationsidentität, d.h. für alle x, y [mm]∈R^{n}[/mm]
> gilt:
>
> [mm](x,y)=\bruch{1}{2}(\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel_{2}^{2}[/mm] -
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2}^{2}[/mm] - [mm]\parallel[/mm] y
> [mm]\parallel_{2}^{2}).[/mm]
> N'Abend,
>
> ich plane oben genannte Aufgabe korrekt zu lösen und habe
> mich dazu in diverser Literatur versucht schlau zu machen.
>
> Einen Lösungsvorschlag habe ich schon, allerdings weiß
> ich nicht, ob ich dass so machen kann ...
>
> [mm]\bruch{1}{2}[\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel_{2}^{2}[/mm] - [mm]\parallel[/mm] x
> [mm]\parallel_{2}^{2}[/mm] - [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel_{2}^{2}]= \bruch{1}{2}[(x+y,x+y)-(x,x)-(y,y)]=\bruch{1}{2}[(x,x)+2(x,y)+(y,y)-(x,x)-(y,y)]=\bruch{1}{2}[2(x,y)]=(x,y)[/mm]
>
> Es wäre ganz lieb, wenn jemand drüberschauen kann und
> seinen Senf entsprechend dazu gibt.
Alles korrekt.
FRED
>
> Silfide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Sa 10.11.2012 | | Autor: | silfide |
Danke, euch beiden.
Ich war mir einfach nicht sicher!
Silfide
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Sa 10.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bezeiche im folgenden [mm]\parallel[/mm] · [mm]\parallel_{2}[/mm] die
> Euklidische Norm auf dem [mm]R^{n}[/mm] . Dann gilt die
> Polarisationsidentität, d.h. für alle x, y [mm]∈R^{n}[/mm]
> gilt:
>
> [mm](x,y)=\bruch{1}{2}(\parallel x+y \parallel_{2}^{2} -\parallel x \parallel_{2}^{2} - \parallel y \parallel_{2}^{2}).[/mm]
> N'Abend,
>
> ich plane oben genannte Aufgabe korrekt zu lösen und habe
> mich dazu in diverser Literatur versucht schlau zu machen.
>
> Einen Lösungsvorschlag habe ich schon, allerdings weiß
> ich nicht, ob ich dass so machen kann ...
darfst Du
> [mm]\bruch{1}{2}[\parallel[/mm] x+y [mm]\parallel_{2}^{2}[/mm] - [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{2}^{2}[/mm] - [mm]\parallel[/mm] y [mm]\parallel_{2}^{2}]= \bruch{1}{2}[(x+y,x+y)-(x,x)-(y,y)]=\bruch{1}{2}[(x,x)+2(x,y)+(y,y)-(x,x)-(y,y)]=\bruch{1}{2}[2(x,y)]=(x,y)[/mm]
Du benutzt dort nämlich nur die Definition von [mm] $\|.\|_2$ [/mm] und die Bilinearität
des Skalarprodukts.
Gruß,
Marcel
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