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Moin,
In meinem Skript heisst es:
Eine Abbildung ist eine Norm auf [mm] R^n, [/mm] wenn gilt:
* ||ax|| = |a| * ||x||
* Dreiecksungleichung
* ||x|| >= 0 (für alle x aus [mm] R^n)
[/mm]
* ||x|| = 0 <=> x = 0
Soweit so gut. das ich jetzt den Zusammenhang verstehe ein Frage.
Also im Prinzip ist das kanonische euklidische Skalarprodukt ja eine Abbildung vom [mm] R^n [/mm] in den R.
Und da die obigen 4 aufgezählten Eigenschaften gelten, ist das kan. eukl. Skalarprodukt eine Norm auf den [mm] R^n [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 Do 17.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Moin,
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> In meinem Skript heisst es:
>
> Eine Abbildung ist eine Norm auf [mm]R^n,[/mm] wenn gilt:
>
> * ||ax|| = |a| * ||x||
> * Dreiecksungleichung
> * ||x|| >= 0 (für alle x aus [mm]R^n)[/mm]
> * ||x|| = 0 <=> x = 0
>
> Soweit so gut. das ich jetzt den Zusammenhang verstehe ein
> Frage.
>
> Also im Prinzip ist das kanonische euklidische
> Skalarprodukt ja eine Abbildung vom [mm]R^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
in den R.
Nein, im Prinzip ist dieses SKALARPRODUKT <.,.> eine Abbildung von $\IR^n \times \IR^n \to \IR$. Du bildest ja das kan. eukl. Skalarprodukt für $x \in \IR^n$ und $y \in \IR^n$, d.h.:
<.,.>: $\IR^n \times \IR^n \to \IR$ mit
$\underbrace{(x,y)}_{\in \IR^{n} \times \IR^n}} \mapsto <x,y> \in \IR$
(Oder anders ausgedrückt:
Mit $f(x,y):=<x,y>$ ($x,y \in \IR^n$) gilt: $f: \IR^n \times \IR^n \to \IR$)
> Und da die obigen 4 aufgezählten Eigenschaften gelten, ist
> das kan. eukl. Skalarprodukt eine Norm auf den [mm]R^n[/mm] ?
Nein. Alleine schon, weil das SKALARPRODUKT eine Abbildung [mm] $\IR^n \times \IR^n \to \IR$ [/mm] ist, macht diese Aussage keinen Sinn. Weiterhin:
Nimm mal $(1,0), (-1,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und bilde das kan. eukl. Skalarprodukt. Es kommt als Ergebnis $1(-1)+0*0=-1 < 0$ heraus.
Eine Norm [mm] $\parallel [/mm] . [mm] \parallel$, [/mm] welche übrigens eine Abbildung [mm] $\IR^n \to \IR$ [/mm] ist, nimmt aber nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ an.
(Manchmal schreibt man deshalb auch [mm] $\parallel [/mm] . [mm] \parallel$: $\IR^n \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] oder ähnliches, anstatt [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] zu verlangen. Das ist aber das gleiche und nur Geschmackssache...)
Was aber gilt:
Wenn Du ein Skalarprodukt <.,.> gegeben hast, so kannst Du mittels der Definition:
[mm] $(\*)$ $\parallel [/mm] x [mm] \parallel:=\sqrt{}$
[/mm]
eine Norm erzeugen.
Und beachte
[mm] $(\*)$ [/mm] ist eine Abbildung [mm] $\IR^n \to \IR_{\ge 0}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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