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| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 10/3 & -1/3 \\ -2/3 & 11/3 }
[/mm]
Berechnen Sie [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_1, \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2, \parallel [/mm] A [mm] \parallel_\infty [/mm] |
Hi, mal ne Frage zu dieser Aufgabe.
Also [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_1 [/mm] ist doch die Spaltensummennorm. Heißt das, die Lösung ist dann:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_1 [/mm] = [mm] \wurzel{(10/3)^2 + (-2/3)^2}+\wurzel{(-1/3)^2 + (11/3)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{104}{9}}+\wurzel{\bruch{124}{9}}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_\infty [/mm] ist ja die Zeilensummennorm, also:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_\infty [/mm] = [mm] \wurzel{(10/3)^2 + (-1/3)^2}+\wurzel{(-2/3)^2 + (11/3)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{101}{9}}+\wurzel{\bruch{125}{9}}
[/mm]
Stimmen diese Rechnungen so, oder ist das vollkommen Schwachsinn?
Und wie würde es dann mit [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_2 [/mm] ??
Danke schon mal für Hilfe.
Grüße
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Hallo Steve,
> Sei [mm]A=\pmat{ 10/3 & -1/3 \\ -2/3 & 11/3 }[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_1, \parallel[/mm] A
> [mm]\parallel_2, \parallel[/mm] A [mm]\parallel_\infty[/mm]
> Hi, mal ne Frage zu dieser Aufgabe.
>
> Also [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_1[/mm] ist doch die
> Spaltensummennorm.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Heißt das, die Lösung ist dann:
>
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_1[/mm] = [mm]\wurzel{(10/3)^2 + (-2/3)^2}+\wurzel{(-1/3)^2 + (11/3)^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{104}{9}}+\wurzel{\bruch{124}{9}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich bezeichne mit $i$ die Zeilen, mit $j$ die Spalten von [mm] $A=(a_{ij})$
[/mm]
Es ist doch [mm] $||A||_1=\max\limits_{j}\left\{\sum\limits_{i=1}^2|a_{ij}|\right\}$
[/mm]
Schaue dir jede Spalte einzeln an, addiere die Einträge betraglich auf und greife den größten Wert heraus ...
>
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_\infty[/mm] ist ja die Zeilensummennorm,
> also:
>
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_\infty[/mm] = [mm]\wurzel{(10/3)^2 + (-1/3)^2}+\wurzel{(-2/3)^2 + (11/3)^2}[/mm]
> = [mm]\wurzel{\bruch{101}{9}}+\wurzel{\bruch{125}{9}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Unsinn, woher kommen eigentlich die Wurzeln?
Die Zeilensummennorm $||A||_\infty}$ ist analog zur Spaltensummennorm definiert als $||A||_{\infty}=\max\limits_{i}\left\{\sum\limits_{j=1}^2|a_{ij}|\right\}$
Bilde in jeder Zeile die betragliche Summe der Einträge und nimm den größten Wert ...
>
> Stimmen diese Rechnungen so, oder ist das vollkommen
> Schwachsinn?
>
> Und wie würde es dann mit [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_2[/mm] ??
Das ist die Spektralnorm.
Schaue die am besten die ![[]](/images/popup.gif) Matrixnormen nochmal genau an.
Auf der verlinkten Seite ist relativ weit unten eine Tabelle ...
> Danke schon mal für Hilfe.
> Grüße
>
Gruß
schachuzipus
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Hi Schachuzipus,
die Seite bei wikipedia hatte ich auch schon gesehen. Und dabei auch deinen Hinweis entdeckt, also
> Es ist doch $ [mm] ||A||_1=\max\limits_{j}\left\{\sum\limits_{i=1}^2|a_{ij}|\right\} [/mm] $
> Schaue dir jede Spalte einzeln an, addiere die Einträge betraglich auf und greife den größten Wert heraus ...
ich weiß jetzt gerade nur nicht genau, wie man das umsetzt.
Also ist es bei der Spaltennorm dann so:
$ [mm] \parallel [/mm] $ A $ [mm] \parallel_1 [/mm] $ = ( 10/3 + |(-2/3)|, |(-1/3)| + 11/3)=(4,4)
So, ich bekomme jetzt in jeder Spalte eine Summe von 4. Muss ich dann auch nochmal 4+4 rechnen, so dass [mm] \parallel [/mm] $ A $ [mm] \parallel_1=8 [/mm] ist oder ist [mm] \parallel [/mm] $ A $ [mm] \parallel_1 [/mm] = 4???
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Hallo nochmal,
> Hi Schachuzipus,
>
> die Seite bei wikipedia hatte ich auch schon gesehen. Und
> dabei auch deinen Hinweis entdeckt, also
>
> > Es ist doch
> [mm]||A||_1=\max\limits_{j}\left\{\sum\limits_{i=1}^2|a_{ij}|\right\}[/mm]
>
> > Schaue dir jede Spalte einzeln an, addiere die Einträge
> betraglich auf und greife den größten Wert heraus ...
>
> ich weiß jetzt gerade nur nicht genau, wie man das
> umsetzt.
>
> Also ist es bei der Spaltennorm dann so:
>
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_1[/mm] = ( 10/3 + |(-2/3)|, |(-1/3)| +
> 11/3)=(4,4)
>
> So, ich bekomme jetzt in jeder Spalte eine Summe von 4.
> Muss ich dann auch nochmal 4+4 rechnen,
Nein, du musst das Maximum der Werte nehmen, so ist das doch definiert, also [mm] $||A||_1=4$
[/mm]
> so dass [mm]\parallel[/mm] [mm]A[/mm] [mm]\parallel_1=8[/mm] ist oder ist [mm]\parallel[/mm] [mm]A[/mm] [mm]\parallel_1[/mm] =
> 4???
Letzteres natürlich ...
Gruß
schachuzipus
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hi nochmal.
ok dann müsste es ja bei $ [mm] \parallel [/mm] $ A $ [mm] \parallel_\infty [/mm] $ = 13/3 sein, richtig oder?
und wie rechne ich das jetzt bei [mm] \parallel [/mm] $ A $ [mm] \parallel_2?? [/mm] bei Wikipedia ist ja die Rede von Matrizen und so. Geht das nicht einfacher?
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Hallo nochmal,
> hi nochmal.
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> ok dann müsste es ja bei [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_\infty[/mm] =
> 13/3 sein, richtig oder?
Ja!
>
> und wie rechne ich das jetzt bei [mm]\parallel[/mm] [mm]A[/mm]
> [mm]\parallel_2??[/mm] bei Wikipedia ist ja die Rede von Matrizen
> und so.
Das wundert mich jetzt aber, dass im Zusammenhang mit Matrixnormen von Matrizen die Rede ist...
> Geht das nicht einfacher?
Du hast doch eine reelle Matrix. Da ist die Adjungierte gleich der Transponierten.
Rechne also [mm] $A^T\cdot{}A$ [/mm] aus und bestimme den betraglich größten Eigenwert von [mm] $A^T\cdot{}A$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mo 31.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das geht doch um Matrizen, also solltn die auch vorkommen und bei [mm] 2\times [/mm] 2 m. mach das einfach! ist schnller als nen post schreiben!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mo 31.05.2010 | | Autor: | jaruleking |
Ok, danke euch.
gruß
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Hi leute,
also ich weiß nicht, ob ich mir bei der letzen Norm verrechnet habe, aber so richtig komme ich nicht weiter:
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel_\infty [/mm] , d.h. ich bilde erste [mm] A^T\cdot{}A
[/mm]
[mm] A^T\cdot{}A= \pmat{ 10/3 & -2/3 \\ -1/3 & 11/3 } \pmat{ 10/3 & -1/3 \\ -2/3 & 11/3 } [/mm]
[mm] =>A^T\cdot{}A =\pmat{ 104/9 & -32/9 \\ -32/9 & 122/9 } [/mm]
So, dann muss ich ja die EW von [mm] A^T\cdot{}A [/mm] bestimmen. Also:
[mm] det(A^T\cdot{}A [/mm] - [mm] x*E)=det(\pmat{ 104/9 - x & -32/9 \\ -32/9 & 122/9 - x } [/mm] ) = (104/9 - x)*( 122/9 - x) + 64/27
So, diese Zahlen, das kann doch nicht stimmen, oder?? Ich finde aber auch keine Rechenfehler gerade....
Könnt ihr dazu vielleicht nochmal was sagen??
Grüße
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Hallo nochmal,
> Hi leute,
>
> also ich weiß nicht, ob ich mir bei der letzen Norm
> verrechnet habe, aber so richtig komme ich nicht weiter:
>
> [mm]\parallel[/mm] A [mm]\parallel_\infty[/mm] , d.h. ich bilde erste
> [mm]A^T\cdot{}A[/mm]
>
> [mm]A^T\cdot{}A= \pmat{ 10/3 & -2/3 \\ -1/3 & 11/3 } \pmat{ 10/3 & -1/3 \\ -2/3 & 11/3 }[/mm]
>
> [mm]=>A^T\cdot{}A =\pmat{ 104/9 & -32/9 \\ -32/9 & 122/9 }[/mm]
>
> So, dann muss ich ja die EW von [mm]A^T\cdot{}A[/mm] bestimmen.
> Also:
>
> [mm]det(A^T\cdot{}A[/mm] - [mm]x*E)=det(\pmat{ 104/9 - x & -32/9 \\ -32/9 & 122/9 - x }[/mm] ) = (104/9 - x)*( 122/9 - x) [mm] \red{+64/27}
[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Determinante einer [mm] $2\times [/mm] 2$ - Matrix [mm] $A=\pmat{a&b\\c&d}$ [/mm] ist [mm] $\operatorname{det}(A)=ad-bc$
[/mm]
Also bei dir am Ende [mm] $\red{-\left(-\frac{32}{9}\right)\cdot{}\left(-\frac{32}{9}\right)}$
[/mm]
Rechne das nochmal, dann $p-q$ - Formel ...
"Schöne" Werte kommen wohl nicht raus ...
>
> So, diese Zahlen, das kann doch nicht stimmen, oder?? Ich
> finde aber auch keine Rechenfehler gerade....
>
> Könnt ihr dazu vielleicht nochmal was sagen??
>
> Grüße
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 01.06.2010 | | Autor: | jaruleking |
Naja trotzdem wird das Ergebnis nicht besser. Ziemlich komische Zahlen, aber naje.
Danke nochmal.
Gruß
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