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| Aufgabe | | Mit [mm] (X,A,\mu) [/mm] einem Massraum, f [mm] \in L_p, 10 [/mm] zeige man, dass [mm] A_\epsilon \in [/mm] A existiert mit [mm] $\mu(A_\epsilon) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] und [mm] $||f*1_{X\setminus A_\epsilon} ||_p$<\epsilon [/mm] |
Guten Tag
Leider fällt mir hier nicht wirklich etwas ein, wie ich das lösen soll. f [mm] \in L_p [/mm] heisst dass [mm] \integral_X |f|^p d\mu [/mm] < [mm] \infty [/mm] und [mm] $||f*1_{X\setminus A_\epsilon} ||_p [/mm] = ( [mm] \integral_{X \setminus A_\epsilon} |f|^p d\mu)^{\bruch{1}{p}}$
[/mm]
[mm] \mu(X\setminus A_\epsilon)=c [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
Wenn X abzählbar endlich wäre [mm] (X=\{a_1,...,a_m\}), [/mm] könnte man eine steigende Folge definieren [mm] A_1:=\{a_1\}; A_n:=\{A_{n-1}\cup\{n\}\} [/mm] wobei dann [mm] X\setminus A_n [/mm] gegen die leere Menge geht,... naja.
Kann mir bitte jmd. helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Fr 19.10.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
bei der Aufgabe fehlt irgendwas.... was soll $ [mm] ||f\cdot{}1_{X\setminus A_\epsilon} ||_p [/mm] $ sein?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo,
> bei der Aufgabe fehlt irgendwas.... was soll
> [mm]||f\cdot{}1_{X\setminus A_\epsilon} ||_p[/mm] sein?
Ich vermute (ohne Gewähr): [mm] $<\epsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Entschuldigung, habe ich geändert. Ja, es sollte kleiner [mm] \epsilon [/mm] heissen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pablovschby,
sei für [mm] $\delta\in(0,\infty)$
[/mm]
[mm] $B_\delta:=\{|f|^p>\delta\}$.
[/mm]
Zeige:
[mm] $\mu(B_\delta)<\infty$ [/mm] für alle [mm] $\delta\in(0,\infty)$
[/mm]
und
[mm] $||f\cdot{}1_{X\setminus B_\delta} ||_p\to [/mm] 0$ für [mm] $\delta\to0$.
[/mm]
Also leistet [mm] $A_\epsilon:=B_\delta$ [/mm] für [mm] $\delta\in(0,\infty)$ [/mm] genügend klein das Gewünschte.
Viele Grüße
Tobias
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Danke :)
Ich habe es so gemacht:
[mm] \int_X |f|^p d\mu [/mm] < [mm] \infty (\*) \Rightarrow \int_X |f|^p *1_{\{|f|^p\not=0 \}} d\mu [/mm] < [mm] \infty \Rightarrow \int_X 1_{\{|f|^p\not=0 \}} d\mu [/mm] < [mm] \infty [/mm]
[mm] \Rightarrow \mu(\{|f|^p \not=0 \})<\infty \Rightarrow \mu(\{x:|f|^p>\delta\})<\infty \forall \delta [/mm] >0
[mm] ||f*1_{\{ X\setminus B_\delta \}}||_p= (\int |f|^p*1_{\{X\setminus B_\delta\}} d\mu)^{\frac{1}{p}}
[/mm]
[mm] =(\int_X |f|^p d\mu [/mm] - [mm] \int_{B_\delta} |f|^p d\mu )^{\frac{1}{p}}
[/mm]
Weil [mm] \int_{B_\delta} |f|^p d\mu \rightarrow_{\delta \rightarrow 0} \int_X |f|^p d\mu [/mm] gilt
[mm] \int_X |f|^p d\mu [/mm] - [mm] \int_{B_\delta} |f|^p d\mu \rightarrow_{\delta \rightarrow 0} [/mm] 0
Also [mm] ||f*1_{\{ X\setminus B_\delta \}}||_p \rightarrow_{\delta \rightarrow 0} [/mm] 0
Dann ist [mm] (||f*1_{\{ X\setminus B_{\frac{1}{n}} \}}||_p )_{n\in\IN} [/mm] Nullfolge
[mm] \Rightarrow \forall \epsilon>0 \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] :
[mm] ||f*1_{\{ X\setminus B_{\frac{1}{n}} \}}||_p [/mm] < [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N
Also kann [mm] \forall \delta>0 [/mm] ein solches n gewählt werden mit $ [mm] \frac{1}{n}<\delta$ [/mm] , dass das Gewünschte gilt.
Etwas ausführlich wohl...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Fr 19.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\int_X |f|^p d\mu[/mm] < [mm]\infty (\*) \Rightarrow \int_X |f|^p *1_{\{|f|^p\not=0 \}} d\mu[/mm] < [mm]\infty[/mm]
Ja.
> [mm]\Rightarrow \int_X 1_{\{|f|^p\not=0 \}} d\mu[/mm] < [mm]\infty[/mm]
Warum das? Vermutlich falsch.
> [mm]\Rightarrow \mu(\{|f|^p \not=0 \})<\infty\Rightarrow \mu(\{x:|f|^p>\delta\})<\infty \forall \delta[/mm] >0
Wäre folgerichtig.
Starte mit
[mm] $\infty>||f||_p=\int\underbrace{|f|^p}_{\ge|f|^p1_{B_\delta}\ge\delta1_{B_\delta}}d\mu\ge\ldots$.
[/mm]
> [mm]||f*1_{\{ X\setminus B_\delta \}}||_p= (\int |f|^p*1_{\{X\setminus B_\delta\}} d\mu)^{\frac{1}{p}}[/mm]
>
> [mm]=(\int_X |f|^p d\mu[/mm] - [mm]\int_{B_\delta} |f|^p d\mu )^{\frac{1}{p}}[/mm]
Ja. Hier geht ein, dass [mm] $f\in L_p$, [/mm] also die beiden Integrale in der unteren Zeile existieren.
> Weil [mm]\int_{B_\delta} |f|^p d\mu \rightarrow_{\delta \rightarrow 0} \int_X |f|^p d\mu[/mm]
Begründung?
> gilt
>
> [mm]\int_X |f|^p d\mu[/mm] - [mm]\int_{B_\delta} |f|^p d\mu \rightarrow_{\delta \rightarrow 0}[/mm]
> 0
>
> Also [mm]||f*1_{\{ X\setminus B_\delta \}}||_p \rightarrow_{\delta \rightarrow 0}[/mm]
> 0
>
> Dann ist [mm](||f*1_{\{ X\setminus B_{\frac{1}{n}} \}}||_p )_{n\in\IN}[/mm]
> Nullfolge
>
> [mm]\Rightarrow \forall \epsilon>0 \exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] :
>
> [mm]||f*1_{\{ X\setminus B_{\frac{1}{n}} \}}||_p[/mm] < [mm]\epsilon \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N
Alles weitere sehr schön!
> Also kann [mm]\forall \delta>0[/mm] ein solches n gewählt werden
> mit [mm]\frac{1}{n}<\delta[/mm] , dass das Gewünschte gilt.
Du meinst wohl: Für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] kann ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] gewählt werden mit [mm] $||f*1_{\{ X\setminus B_{\frac{1}{N}} \}}||_p<\epsilon$. $A_\epsilon:=B_{\frac1N}$ [/mm] leistet also das Gewünschte.
> Etwas ausführlich wohl...
Mir sind ausführliche Lösungen lieber als zu knappe.
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[mm] \infty [/mm] > [mm] ||f||_p=\int |f|^p d\mu \ge \int |f|^p*1_{\{B_\delta\}} d\mu \ge \int \delta*1_{b_\delta} d\mu=\delta*\mu(B_\delta)
[/mm]
Dies weil [mm] |f|^p \ge |f|^p *1_{\{B_\delta\}} \ge \delta*1_{B_\delta}
[/mm]
Also [mm] \exists [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] \delta*\mu(B_\delta)=c<\infty
[/mm]
Dann ist [mm] \mu(B_\delta)=\bruch{c}{\delta}<\infty [/mm] da ja [mm] \delta \in \IR
[/mm]
--
Nun willst du eine Begründung für
$ [mm] \int_{B_\delta} |f|^p d\mu \rightarrow_{\delta \rightarrow 0} \int_X |f|^p d\mu [/mm] $
Weil [mm] B_\delta \rightarrow_{\delta\rightarrow 0} \{x: |f(x)|^p \not= 0\} [/mm] und weil ja dort, wo die Funktion 0 ist, das Mass "wegfällt".
[mm] \int_X |f|^p d\mu [/mm] = [mm] \int_{\{|f|^p \not=0\}} |f|^p d\mu [/mm] + [mm] \int_{\{|f|^p=0\}} |f|^p d\mu [/mm] = [mm] \int_{\{|f|^p \not=0\}} |f|^p d\mu =\int_{\{\lim_{\delta \rightarrow 0} B_\delta\}} |f|^p d\mu [/mm]
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:23 So 21.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]\infty[/mm] > [mm]||f||_p=\int |f|^p d\mu \ge \int |f|^p*1_{\{B_\delta\}} d\mu \ge \int \delta*1_{b_\delta} d\mu=\delta*\mu(B_\delta)[/mm]
>
> Dies weil [mm]|f|^p \ge |f|^p *1_{\{B_\delta\}} \ge \delta*1_{B_\delta}[/mm]
>
> Also [mm]\exists[/mm] c [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]\delta*\mu(B_\delta)=c<\infty[/mm]
> Dann ist [mm]\mu(B_\delta)=\bruch{c}{\delta}<\infty[/mm] da ja
> [mm]\delta \in \IR[/mm]
Und vor allem [mm] $\delta\not=0$.
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun willst du eine Begründung für
> [mm]\int_{B_\delta} |f|^p d\mu \rightarrow_{\delta \rightarrow 0} \int_X |f|^p d\mu[/mm]
>
> Weil [mm]B_\delta \rightarrow_{\delta\rightarrow 0} \{x: |f(x)|^p \not= 0\}[/mm]
> und weil ja dort, wo die Funktion 0 ist, das Mass
> "wegfällt".
>
> [mm]\int_X |f|^p d\mu[/mm] = [mm]\int_{\{|f|^p \not=0\}} |f|^p d\mu[/mm] +
> [mm]\int_{\{|f|^p=0\}} |f|^p d\mu[/mm] = [mm]\int_{\{|f|^p \not=0\}} |f|^p d\mu =\int_{\{\lim_{\delta \rightarrow 0} B_\delta\}} |f|^p d\mu[/mm]
Ja.
Und warum gilt nun
[mm] $\int_{B_\delta} |f|^p d\mu\to\int_{\{\lim_{\delta \rightarrow 0} B_\delta\}} |f|^p d\mu$ [/mm] für [mm] $\delta\to0$ [/mm] ?
Hier fehlt vor allem noch das Zitieren eines Satzes, der eingeht...
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Hier fehlt vor allem noch das Zitieren eines Satzes, der eingeht...
Satz von Lebesgue mit der Majorante [mm] |f|^p [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:58 So 21.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Hier fehlt vor allem noch das Zitieren eines Satzes, der
> eingeht...
>
> Satz von Lebesgue mit der Majorante [mm]|f|^p[/mm] ?
Genau!
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Hi
Was ich nach wie vor nicht verstehe ist:
Warum soll ich zeigen, dass [mm] \mu(B_\delta) [/mm] < [mm] \infty [/mm] ?
Wo benutze ich das dann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 So 21.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Warum soll ich zeigen, dass [mm]\mu(B_\delta)[/mm] < [mm]\infty[/mm] ?
>
> Wo benutze ich das dann?
Weil es in der Aufgabenstellung heißt, dass [mm] $\mu(A_\epsilon)<\infty$ [/mm] sein soll. Und als mögliches [mm] $A_\epsilon$ [/mm] wollen wir ja gerade eine Menge der Form [mm] $B_\delta$ [/mm] nehmen.
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