Norm einer Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Crispy |
Sei die Norm einer Matrix [mm]A=(\alpha_{ik}) \in \IR[/mm] definiert durch:
[mm] \left| \left| A \right| \right|=\wurzel{\summe_{i,k=1}^{n} (\alpha_{ik})^2}[/mm]
Aufgabe a)
Für [mm]A \in \IR^{2\times2}[/mm] und [mm]x \in \IR^{2}[/mm] mit kanonischem Skalarprodukt beweise man die Schwarzsche Ungleichung:
[mm] \left| \left| Ax \right| \right| \le \left| \left| A \right| \right| \left| \left| x \right| \right|[/mm]
Aufgabe b)
Man führe den Beweis für allg. Dimension n durch.
Mein Ansatz zu a)
Sei [mm]A= \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] und [mm]x=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
Dann erhalte ich nach Umformen folgende Ungleichung:
[mm]\wurzel{(a^2+c^2)*x_1^2+(b^2+d^2)*x_2^2 + 2x_1x_2(ab+cd)} \le\wurzel{a^2+b^2+c^2+d^2}*\wurzel{x_1^2+x_2^2}[/mm]
Leider habe ich keine Idee, wie man die Gültigkeit dieser Ungelichung zeigt, noch finde ich einen Ansatz für die Teilaufgabe b.
Schon mal Danke für Eure Hilfe,
Crispy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Crispy!
Kennt ihr schon die gewöhnliche (Cauchy-)Schwarzsche Ungleichung
[mm] $\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i \le \left( \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n y_i^2 \right)^{\frac{1}{2}}$ [/mm] ?
Dann ist die Aufgabe nämlich plötzlich sehr einfach...
Könntest du mir das gerade beantworten? Dann helfe ich dir weiter. Danke. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Crispy |
> Hallo Crispy!
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> Kennt ihr schon die gewöhnliche (Cauchy-)Schwarzsche
> Ungleichung
>
> [mm]\sum\limits_{i=1}^n x_iy_i \le \left( \sum\limits_{i=1}^n x_i^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \sum\limits_{i=1}^n y_i^2 \right)^{\frac{1}{2}}[/mm] ?
Hallo Stefan,
ja, die kenne ich - erkenne aber nicht wie ich die anwenden soll - denn in dieser Gleichung ist ja links keine Wurzel.
Danke für deine Hilfe, Crispy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Fr 22.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Crispy!
Sehr gut, dann rechne ich jetzt direkt mal den allgemeinen Teil vor:
$\left\Vert Ax\right\Vert$
$= \left( \sum\limits_{i=1}^n \left( \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_j \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}}$
$\stackrel{(C.S.)}{\le} \left( \sum\limits_{i=1}^n \left( \left( \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \sum\limits_{j=1}^n x_j^2 \right)^{\frac{1}{2}} \right)^2 \right)^{\frac{1}{2}}$
$= \left( \sum\limits_{j=1}^n x_j^2 \cdot \left(\sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}^2 \right) \right)^{\frac{1}{2}$
$= \left( \sum\limits_{i,j=1}^n a_{ij}^2 \right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \sum\limits_{j=1}^n x_j^2 \right)^{\frac{1}{2}}$
$= \left\Vert A \right\Vert \cdot \left\Vert x \right\Vert$.
Viele Grüße
Stefan
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