Norm eines Weges < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:35 Mo 03.12.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
| Aufgabe | Sei [mm] f:\mathbb{R}^n->(0,\infty) [/mm] stetig differenzierbar mit [mm] grad(f(x))=f(x)*x^T [/mm] für alle x [mm] \in \mathbb{R}^n.
[/mm]
Sei [mm] \gamma:(-1,1)->\mathbb{R}^n [/mm] ein stetig differenzierbarer Weg mit [mm] f(\gamma(t))=2012 [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] (-1,1) und [mm] \gamma(0)=e_1 [/mm] (erster Einheitsvektor)
Zeige: [mm] ||\gamma(t)||_2=1 [/mm] für alle t [mm] \in [/mm] (-1,1). |
Meine Lösungsidee ist folgende: Man betrachtet die Norm als Funktion g und zeigt dann, dass [mm] g\circ\gamma [/mm] konstant ist, indem man zeigt, dass die Ableitung stets 0 ist (dann folgt sofort die Behauptung). Damit man g ableiten kann, muss allerdings [mm] \gamma(t) \neq [/mm] 0 für alle t [mm] \in [/mm] (-1,1) sein. Mein Problem ist nun, wie ich das zeige, der Rest wäre dann machbar... ich habe bereits versucht, irgendwie den verallgemeinerten Mittelwertsatz zu verwenden, bin aber auf nichts gekommen und wäre nun für einen Tipp dankbar.
PS: Ich habe diese Frage bereits hier gestellt (bisher aber keine Antwort erhalten): http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=508205
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:36 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f:\mathbb{R}^n->(0,\infty)[/mm] stetig differenzierbar mit
> [mm]grad(f(x))=f(x)*x^T[/mm] für alle x [mm]\in \mathbb{R}^n.[/mm]
>
> Sei [mm]\gamma:(-1,1)->\mathbb{R}^n[/mm] ein stetig
> differenzierbarer Weg mit [mm]f(\gamma(t))=2012[/mm] für alle t [mm]\in[/mm]
> (-1,1) und [mm]\gamma(0)=e_1[/mm] (erster Einheitsvektor)
> Zeige: [mm]||\gamma(t)||_2=1[/mm] für alle t [mm]\in[/mm] (-1,1).
>
> Meine Lösungsidee ist folgende: Man betrachtet die Norm
> als Funktion g und zeigt dann, dass [mm]g\circ\gamma[/mm] konstant
> ist, indem man zeigt, dass die Ableitung stets 0 ist (dann
> folgt sofort die Behauptung). Damit man g ableiten kann,
> muss allerdings [mm]\gamma(t) \neq[/mm] 0 für alle t [mm]\in[/mm] (-1,1)
> sein. Mein Problem ist nun, wie ich das zeige, der Rest
> wäre dann machbar... ich habe bereits versucht, irgendwie
> den verallgemeinerten Mittelwertsatz zu verwenden, bin aber
> auf nichts gekommen und wäre nun für einen Tipp dankbar.
>
> PS: Ich habe diese Frage bereits hier gestellt (bisher aber
> keine Antwort erhalten):
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=508205
irgendwie sehe ich bei Deiner Idee nicht, wo die Voraussetzung
[mm] $$(\*)\;\;\;\nabla f(x)=f(x)*x^T$$
[/mm]
eingeht.
Es gilt doch, wenn man sie verwendet:
[mm] $$\frac{d\;(f \circ \gamma)(t)}{dt}=0\,,$$
[/mm]
wegen $f [mm] \circ \gamma=\text{const}=2012$ [/mm] und wegen der Kettenregel
[mm] $$0=\frac{d\;(f \circ \gamma)(t)}{dt}=\nabla_\gamma f(\gamma(t))*\gamma\,'(t)\stackrel{(\*)}{=}f(\gamma(t))*\gamma(t)^T*\gamma'(t)=2012*\gamma(t)^T*\gamma\,'(t)$$
[/mm]
mit [mm] $\gamma\,'(t)$ [/mm] als Ableitung von [mm] $\gamma$ [/mm] an der Stelle [mm] $t\,.$
[/mm]
Jetzt ist halt die Frage, wie man da auch noch [mm] $\gamma(0)=e_1$ [/mm]
verwerten kann, und wie man [mm] $\|\gamma(t)\|_2^2=\gamma(t)^T*\gamma(t)$
[/mm]
ins Spiel bringt...
(P.S.: Ich weiß (noch) nicht, ob das ganze so zielführend ist - aber
wenigstens geht so schonmal die Voraussetzung [mm] $(\*)$ [/mm] mit ein:
Denn keineswegs gilt für jede Funktion $g: [mm] \IR^n \to (0,\infty)$ [/mm] einfach
[mm] $\nabla_x g(x)=g(x)*x^T\,,$ [/mm] das ist schon etwas sehr spezielles!)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
die Voraussetzung geht bei meiner Idee ein, wenn man zeigt, dass [mm] g\circ\gamma [/mm] tatsächlich konstant ist. Diesen Teil des Beweises hatte ich mir bereits überlegt, ich müsste nur irgendwie zeigen, dass [mm] \gamma(t)\neq [/mm] 0 für t [mm] \in [/mm] (-1,1) ist. Dann gilt nämlich folgendes:
[mm] \frac{d}{dt} g(\gamma(t))=grad(g(\gamma(t))*\gamma'(t)=\frac{1}{||\gamma(t)||_2}\gamma(t)^T\gamma'(t)=0 [/mm] nach der bereits von dir bewiesenen Identität, die man erhält, wenn man [mm] f\circ\gamma [/mm] ableitet.
Da [mm] g\circ\gamma [/mm] konstant ist, folgt für alle t [mm] \in [/mm] (-1,1):
[mm] ||\gamma(t)||_2=g\circ\gamma(t)=g\circ\gamma(0)=||\gamma(0)||_2=1, [/mm] worin [mm] \gamma(0)=e_1 [/mm] verwendet wurde.
Die Frage ist, ob man [mm] \gamma(t) \neq [/mm] 0, was man benötigt, um [mm] g\circ\gamma [/mm] überhaupt ableiten zu können, so ohne weiteres zeigen kann, oder ob mein Ansatz einfach nicht zielführend ist. Sollte das der Fall sein, bräuchte ich wohl einen etwas stärkeren Stoß in die richtige Richtung...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:33 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> die Voraussetzung geht bei meiner Idee ein, wenn man zeigt,
> dass [mm]g\circ\gamma[/mm] tatsächlich konstant ist. Diesen Teil
> des Beweises hatte ich mir bereits überlegt, ich müsste
> nur irgendwie zeigen, dass [mm]\gamma(t)\neq[/mm] 0 für t [mm]\in[/mm]
> (-1,1) ist. Dann gilt nämlich folgendes:
>
> [mm]\frac{d}{dt} g(\gamma(t))=grad(g(\gamma(t))*\gamma'(t)=\frac{1}{||\gamma(t)||_2}\gamma(t)^T\gamma'(t)=0[/mm]
> nach der bereits von dir bewiesenen Identität, die man
> erhält, wenn man [mm]f\circ\gamma[/mm] ableitet.
>
> Da [mm]g\circ\gamma[/mm] konstant ist, folgt für alle t [mm]\in[/mm]
> (-1,1):
>
> [mm]||\gamma(t)||_2=g\circ\gamma(t)=g\circ\gamma(0)=||\gamma(0)||_2=1,[/mm]
> worin [mm]\gamma(0)=e_1[/mm] verwendet wurde.
>
> Die Frage ist, ob man [mm]\gamma(t) \neq[/mm] 0, was man benötigt,
> um [mm]g\circ\gamma[/mm] überhaupt ableiten zu können, so ohne
> weiteres zeigen kann, oder ob mein Ansatz einfach nicht
> zielführend ist. Sollte das der Fall sein, bräuchte ich
> wohl einen etwas stärkeren Stoß in die richtige
> Richtung...
ich glaube, Dein Problem läßt sich leicht beheben:
Es gilt
[mm] $$\frac{d}{dt}\|\gamma(t)\|_2^2=\frac{d}{dt}(\gamma(t)^T*\gamma(t))=2*\gamma(t)^T*\gamma\,'(t)$$
[/mm]
Damit brauchst Du [mm] $\gamma(t)\not=0$ [/mm] ($t [mm] \in [/mm] (-1,1)$) nicht mehr, und
solltest dennoch das Gewünschte erhalten:
Wenn nämlich $(g [mm] \circ \red{\gamma})^2$ [/mm] konstant [mm] $=1\,$ [/mm] ist, dann folgt
wegen Stetigkeitsargumenten..., weil eine Norm nur Werte
[mm] $\ge [/mm] 0$ annehmen kann...
Edit: Die rotmarkierten Teile wurden korrigiert!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Di 04.12.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
Hallo,
ich nehme an, du meinst, dass [mm] (g\circ\gamma)^2 [/mm] konstant =1 ist? Dann würde aus Stetigkeitsgründen folgen, dass auch [mm] g\circ\gamma [/mm] selbst konstant =1 ist, richtig?
Damit sollte ich das wohl hinbekommen - vielen Dank für deine Hilfe! 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:43 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich nehme an, du meinst, dass [mm](g\circ\gamma)^2[/mm] konstant =1
> ist?
ja, hab's korrigiert (also anstatt $(g [mm] \circ f)^2$ [/mm] nun $(g [mm] \circ \gamma)^2$
[/mm]
geschrieben - gut aufgepasst  )!
> Dann würde aus Stetigkeitsgründen folgen, dass auch
> [mm]g\circ\gamma[/mm] selbst konstant =1 ist, richtig?
ich glaube, ich war da noch nicht so ganz wach heute morgen: Wenn
doch [mm] $\|\gamma(t)\|_2^2$ [/mm] durchweg [mm] $=1\,$ [/mm] ist, dann kann nur [mm] $\|\gamma(t)\|_2$ [/mm] die Werte [mm] $-1\,$ [/mm] und [mm] $1\,$ [/mm] annehmen - dabei geht aber
der Wert [mm] $-1\,$ [/mm] nicht, weil ja [mm] $\|.\|_2$ [/mm] eine Norm ist, welche immer [mm] $\ge [/mm] 0$
bleibt.
> Damit sollte ich das wohl hinbekommen - vielen Dank für
> deine Hilfe!
Gerne!
Gruß,
Marcel
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