Norm von Tupel von Lp-Räumen < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:49 So 13.04.2014 | | Autor: | moerni |
Hallo,
Für eine Funktion f [mm] \in L^p(\Omega) [/mm] ist die Norm offensichtlich definiert als
[mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_{L^p(\Omega)} [/mm] = [mm] (\int_\Omega |f(x)|^p dx)^{1/p}
[/mm]
Nun stehe ich vor der Situation, dass ich die Norm von einer Funktion f = [mm] (f_1,f_2) [/mm] berechnen soll, wobei f [mm] \in L^p(\Omega) [/mm] x [mm] L^p(\Omega) [/mm] ist. Wie ist hierfür die Norm definiert, also was ist
[mm] \parallel (f_1,f_2) \parallel_{L^p(\Omega) \times L^p(\Omega)} [/mm] = ?
Über eine Hilfe wäre ich sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 So 13.04.2014 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Für eine Funktion f [mm]\in L^p(\Omega)[/mm] ist die Norm
> offensichtlich definiert als
> [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel_{L^p(\Omega)}[/mm] = [mm](\int_\Omega |f(x)|^p dx)^{1/p}[/mm]
>
> Nun stehe ich vor der Situation, dass ich die Norm von
> einer Funktion f = [mm](f_1,f_2)[/mm] berechnen soll, wobei f [mm]\in L^p(\Omega)[/mm]
> x [mm]L^p(\Omega)[/mm] ist. Wie ist hierfür die Norm definiert,
> also was ist
> [mm]\parallel (f_1,f_2) \parallel_{L^p(\Omega) \times L^p(\Omega)}[/mm]
> = ?
Es gibt auf Produkten von normierten Raeumen nicht "die" Norm. Es gibt z.B. eine Familie von unendlich vielen, die alle Aequivalent sind: und zwar [mm] $\| (f_1, f_2) \|_q [/mm] = [mm] (\|f_1\|_p^q [/mm] + [mm] \|f_2\|_p^q)^{1/q}$, [/mm] fuer $q [mm] \in [/mm] [1, [mm] \infty]$. [/mm] (Bei $q = [mm] \infty$ [/mm] ist das dann natuerlich [mm] $\|(f_1, f_2)\|_q [/mm] = [mm] \max\{ \|f_1\|_p, \|f_2\|_p \}$.)
[/mm]
Etwas interessanter ist vermutlich nur die Wahl $q = p$, denn damit hast du [mm] $\|(f_1, f_2)\|_p [/mm] = ( [mm] \int_\Omega |f_1(x)|^p [/mm] + [mm] |f_2(x)|^p \; dx)^{1/p}$.
[/mm]
Aber was die "richtige" Wahl ist, haengt natuerlich dark davon ab, was du damit machen willst...
LG Felix
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