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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 Mi 12.12.2012 | | Autor: | BamPi |
| Aufgabe | Angenommen, bei Flugreisen betrage die Rücktrittswahrscheinlichkeit 12%. Für einen
Flug mit 335 Plätzen wird die Fluggesellschaft daher mehr als 335 Tickets verkaufen.
3.1. Die Fluggesellschaft verkauft 360 Tickets.
(a) Wie ist die Anzahl der tatsächlich in dem Flugzeug reisenden Passagiere
verteilt? Berechnen Sie den Mittelwert [mm] \mu [/mm] und die Varianz [mm] \sigma^2
[/mm]
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheinen mehr als 335 Reisende zum Flug?
(b) Was sagt die Chebychev–Ungleichung? (grobe Überschlagsrechnung)
(c) Was sagt die Normalverteilung? (gute Näherungsrechnung mit Tabelle)
(d) Was sagt die Binomialverteilung? (exakt, Rechnung mit einem Computer)
3.2. Das Risiko, dass mehr als 335 Reisende erscheinen, soll unter 4% bleiben.
Wieviele Tickets kann die Fluggesellschaft maximal verkaufen?
(a) Was sagt die Chebychev–Ungleichung? (grobe Überschlagsrechnung)
(b) Was sagt die Normalverteilung? (gute Näherungsrechnung mit Tabelle)
(c) Was sagt die Binomialverteilung? (exakt, Rechnung mit einem Computer) |
Hallo,
zu obiger Aufgabe habe ich den Aufgabenteil a) berechnet zu
[mm] \mu=n*t [/mm] = 316,8 (mit n=360 und t=1-0,12=0.88) und
[mm] \sigma^2=360*0,88*0,12=38,016 [/mm] und somit
[mm] \sigma=\sqrt(38,016)=6,16571
[/mm]
Zur b):
Mit der Chebychev-Ungleichung bekomme ich folgendes:
[mm] P(T-\mu\ge k*\sigma)\le \bruch{1}{1+k^2}
[/mm]
[mm] P(T\ge336)=P(T-316,8\ge19,2)\le\bruch{1}{1+(\bruch{19,2}{6,16571})^2}=0,093484 \approx [/mm] 9,35%
Also eine Wkt. von 9,35%, dass mehr als 335 Passagiere erscheinen.
Nun wirds Merkwürdig:
c) Für die Normalverteilung habe ich folgenden Wert berechnet:
[mm] \mu+x*\sigma=k
[/mm]
mit [mm] \mu,\sigma [/mm] s.o. und k=336:
x=3,114.
Für die Normalverteilung [mm] \integral_{0}^{3,114}{\phi(t) dt} [/mm] erhalte ich dann aus der Tabelle für die Normalverteilung (für x=3,11) den Wert 0,49906 [mm] \approx [/mm] 49,9%
Das kann ja schonmal nicht stimmen ?
Für die Binomialverteilung erhalte ich ebenfalls einen sehr merkwürdigen Wert:
[mm] B(360;0,88)(336)=\vektor{360 \\ 336}*(0,88)^336*(0,12)^24=0,0002915 \approx [/mm] 0,02915%
Die Werte unterscheiden sich ziemlich Extrem, ich finde jedoch den Fehler nicht. Dementsprechend konnte ich auch noch nicht mit Aufgabenteil 3.2 fortfahren.
Ich habe Probeweise Aufgabenteil 3.2 a) berechnet zu:
[mm] P(T\ge336)=P(T-n*t\ge336-n*t)\le \bruch{1}{1+\bruch{(336-n*t)^2}{n*t*(1-t)}} \le [/mm] 0,04
mit t=0,88 folgt dann:
[mm] n\le [/mm] 348,067 und somit ein maximum von 348 Tickets welche verkauft werden dürfen um die Wkt. kleiner als 4% zu halten, dass mehr als 335 Passagiere kommen.
Bin über jede Hilfe dankbar,
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Walde |
Hi BamPi,
> Angenommen, bei Flugreisen betrage die
> Rücktrittswahrscheinlichkeit 12%. Für einen
> Flug mit 335 Plätzen wird die Fluggesellschaft daher mehr
> als 335 Tickets verkaufen.
>
> 3.1. Die Fluggesellschaft verkauft 360 Tickets.
>
> (a) Wie ist die Anzahl der tatsächlich in dem Flugzeug
> reisenden Passagiere
> verteilt? Berechnen Sie den Mittelwert [mm]\mu[/mm] und die Varianz
> [mm]\sigma^2[/mm]
>
> Mit welcher Wahrscheinlichkeit erscheinen mehr als 335
> Reisende zum Flug?
>
> (b) Was sagt die Chebychev–Ungleichung? (grobe
> Überschlagsrechnung)
> (c) Was sagt die Normalverteilung? (gute
> Näherungsrechnung mit Tabelle)
> (d) Was sagt die Binomialverteilung? (exakt, Rechnung mit
> einem Computer)
>
> 3.2. Das Risiko, dass mehr als 335 Reisende erscheinen,
> soll unter 4% bleiben.
> Wieviele Tickets kann die Fluggesellschaft maximal
> verkaufen?
>
> (a) Was sagt die Chebychev–Ungleichung? (grobe
> Überschlagsrechnung)
> (b) Was sagt die Normalverteilung? (gute
> Näherungsrechnung mit Tabelle)
> (c) Was sagt die Binomialverteilung? (exakt, Rechnung mit
> einem Computer)
> Hallo,
>
> zu obiger Aufgabe habe ich den Aufgabenteil a) berechnet
> zu
> [mm]\mu=n*t[/mm] = 316,8 (mit n=360 und t=1-0,12=0.88) und
> [mm]\sigma^2=360*0,88*0,12=38,016[/mm] und somit
> [mm]\sigma=\sqrt(38,016)=6,16571[/mm]
>
> Zur b):
> Mit der Chebychev-Ungleichung bekomme ich folgendes:
> [mm]P(T-\mu\ge k*\sigma)\le \bruch{1}{1+k^2}[/mm]
>
> [mm]P(T\ge336)=P(T-316,8\ge19,2)\le\bruch{1}{1+(\bruch{19,2}{6,16571})^2}=0,093484 \approx[/mm]
> 9,35%
> Also eine Wkt. von 9,35%, dass mehr als 335 Passagiere
> erscheinen.
>
> Nun wirds Merkwürdig:
> c) Für die Normalverteilung habe ich folgenden Wert
> berechnet:
> [mm]\mu+x*\sigma=k[/mm]
> mit [mm]\mu,\sigma[/mm] s.o. und k=336:
> x=3,114.
> Für die Normalverteilung [mm]\integral_{0}^{3,114}{\phi(t) dt}[/mm]
> erhalte ich dann aus der Tabelle für die Normalverteilung
> (für x=3,11) den Wert 0,49906 [mm]\approx[/mm] 49,9%
> Das kann ja schonmal nicht stimmen ?
Ganz wichtig ist, dass du immer schreibst,was die Zufallsvariable sein soll. zB: T: Anzahl der Passagiere (von 360), die den Flug antreten.
Du suchst doch [mm] P(T\ge 336)=1-P(T\le 335)=1-P(\bruch{T-\mu}{\sigma}\le\bruch{335-\mu}{\sigma})=1-\Phi(\bruch{335-\mu}{\sigma})
[/mm]
Zahlen einsetzen, ausrechnen und darauf kannste dann die Tabelle der Std.normalverteilung loslassen
>
> Für die Binomialverteilung erhalte ich ebenfalls einen
> sehr merkwürdigen Wert:
> [mm]B(360;0,88)(336)=\vektor{360 \\ 336}*(0,88)^336*(0,12)^24=0,0002915 \approx[/mm]
> 0,02915%
Hier hast du ja auch nur den Wert von P(T=336) berechnet. Aber du suchst ja [mm] $P(T\ge [/mm] 336)$. Fehlen noch ein paar... 
>
> Die Werte unterscheiden sich ziemlich Extrem, ich finde
> jedoch den Fehler nicht. Dementsprechend konnte ich auch
> noch nicht mit Aufgabenteil 3.2 fortfahren.
> Ich habe Probeweise Aufgabenteil 3.2 a) berechnet zu:
>
> [mm]P(T\ge336)=P(T-n*t\ge336-n*t)\le \bruch{1}{1+\bruch{(336-n*t)^2}{n*t*(1-t)}} \le[/mm]
> 0,04
> mit t=0,88 folgt dann:
> [mm]n\le[/mm] 348,067 und somit ein maximum von 348 Tickets welche
> verkauft werden dürfen um die Wkt. kleiner als 4% zu
> halten, dass mehr als 335 Passagiere kommen.
Der Ansatz, scheint mir auf den ersten Blick ok zu sein.
>
> Bin über jede Hilfe dankbar,
> LG
LG walde
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