Normal , Kommutator-Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 Mi 10.05.2006 | | Autor: | pezi |
| Aufgabe 1 | | zeige: Ist D= < {x^-1 y^-1 xy | x,y [mm] \in [/mm] G}>, so ist D normal in G |
| Aufgabe 2 | G/D aus der Aufgabe 1 ist abelsch
D heißt Kommutator- Gruppe von G |
Frage 1: Ich bin mir nicht ganz sicher ob das etwas mit dem Normalteiler zu tun hat.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Frage 2: Da ich mich bei der ersten Aufgabe nicht auskenne, weiß ich nicht wie ich die Aufgabe zwei lösen soll, da sie ja zusammenhängen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mi 10.05.2006 | | Autor: | statler |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Petra,
warum kümmert sich keiner um dein Anliegen?
> zeige: Ist D= < {x^-1 y^-1 xy | x,y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G}>, so ist D
> normal in G
> G/D aus der Aufgabe 1 ist abelsch
> D heißt Kommutator- Gruppe von G
> Frage 1: Ich bin mir nicht ganz sicher ob das etwas mit
> dem Normalteiler zu tun hat.
Diese Dinger x^{-1}*y^{-1}*x*y heißen Kommutatoren, und sie erzeugen die Kommutatorgruppe D. Zur Frage 1: Ja, D ist ein Normalteiler (muß/soll man wohl zeigen), sonst könnte man G/D gar nicht bilden.
> Frage 2: Da ich mich bei der ersten Aufgabe nicht auskenne,
> weiß ich nicht wie ich die Aufgabe zwei lösen soll, da sie
> ja zusammenhängen
Jetzt mußt du zeigen, daß die Bilder in G/D von Erzeugnissen (das sind endliche Produkte von diesen Dingern) von Kommutatoren in G, kommutieren. Das hört sich komplex an, ist aber eierleicht.
Fang mal an!
Gruß aus dem Norden in den Süden
Dieter
Ach ja: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 10.05.2006 | | Autor: | pezi |
Ich danke, dass du mir geholfen hast, doch habe ich einige Probleme mit der Ausführung. Wenn du Zeit hast, könntest du es mir eventuell ein bisschen näher erläutern?
Danke im Vorraus und liebe Grüße in den Norden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Petra!
> Ich danke, dass du mir geholfen hast, doch habe ich einige
> Probleme mit der Ausführung. Wenn du Zeit hast, könntest du
> es mir eventuell ein bisschen näher erläutern?
Fang doch einfach mal an zu Rechnen!
Hier eine kleine Anleitung:
- Mach dir klar, wie ein beliebiges Element aus $D$ aussieht.
- Zeige, dass das Inverse eines Elementes der Form $g h [mm] g^{-1} h^{-1}$, [/mm] $g, h [mm] \in [/mm] G$ auch wieder von dieser Form ist.
- Rechne nach, dass $D$ ein Normalteiler ist: Ist $g [mm] \in [/mm] G$ und $d [mm] \in [/mm] D$, so musst $g d [mm] g^{-1}$ [/mm] in $D$ sein. (Tipp: fuege [mm] $g^{-1} [/mm] g$ an passenden Stellen ein.)
Zu Aufgabe 2:
- Wie sehen die Elemente aus $G/D$ aus?
- Nimm dir zwei solche Elemente, etwa $x, y [mm] \in [/mm] G/D$. Wann ist $x y = y x$? Genau, wenn $(x y) (y [mm] x)^{-1} [/mm] = e$ ist ($e$ sei das neutrale Element). Gilt das fuer jedes Paar $x, y$ in $G/D$?
LG Felix
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