www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGruppe, Ring, KörperNormale Erweiterung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Normale Erweiterung
Normale Erweiterung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Normale Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Fr 20.08.2010
Autor: hula

Aufgabe
Sei $\ E [mm] \subset [/mm] K $ eine Körpererweiterung mit $\ |E| = [mm] p^n=q$ [/mm] mit $\ p$ prim und $\ n$ eine natürliche Zahl. Der Grad der Erweiterung sei ebenfalls endlich und gleich m. Zeigen Sie, dass die Erweiterung galois ist.  

Hallöchen!

Ich würde gerne obige Aussage zeigen. Nun für endliche Erweiterung weiss ich, dass es genügt, wenn $\ K $ ein Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $\ f [mm] \in [/mm] E[X] $ ist. So weit bin ich gekommen:

Da $\ E $ endlich ist, folgt, dass der Frobeniushomomorphismus surjektiv ist (wie im Beweis Klassifikation endlicher Körper). Daher ist der Körper $\ E $ vollkommen. (folgt aus einem Satz von Steinitz). Dies bedeutet wiederum, dass $\ E [mm] \subset [/mm] K$ separabel ist. Nun ich weiss ja aus dem Klassifikationssatz, dass der Körper $\ E $ bis auf Isomorphie eindeutig ist und ein Zerfällungskörper eines Polynoms $\ g [mm] \in \IF_{p}[X]$ [/mm] ist. Kann ich jetzt daraus schliesse: $\ [mm] \IF_{p}[X] \subset [/mm] E[X] [mm] \subset [/mm] K[X]$. Also ist auch K Zerfällungskörper dieses Polynoms. Und wenn nicht, wie geht es sonst? Danke für die Hilfe!

        
Bezug
Normale Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Fr 20.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> Sei [mm]\ E \subset K[/mm] eine Körpererweiterung mit [mm]\ |E| = p^n=q[/mm]
> mit [mm]\ p[/mm] prim und [mm]\ n[/mm] eine natürliche Zahl. Der Grad der
> Erweiterung sei ebenfalls endlich und gleich m. Zeigen Sie,
> dass die Erweiterung galois ist.
>  
> Ich würde gerne obige Aussage zeigen. Nun für endliche
> Erweiterung weiss ich, dass es genügt, wenn [mm]\ K[/mm] ein
> Zerfällungskörper eines separablen Polynoms [mm]\ f \in E[X][/mm]
> ist. So weit bin ich gekommen:
>  
> Da [mm]\ E[/mm] endlich ist, folgt, dass der Frobeniushomomorphismus
> surjektiv ist (wie im Beweis Klassifikation endlicher
> Körper). Daher ist der Körper [mm]\ E[/mm] vollkommen. (folgt aus
> einem Satz von Steinitz). Dies bedeutet wiederum, dass [mm]\ E \subset K[/mm]
> separabel ist.

[ok]

> Nun ich weiss ja aus dem
> Klassifikationssatz, dass der Körper [mm]\ E[/mm] bis auf
> Isomorphie eindeutig ist und ein Zerfällungskörper eines
> Polynoms [mm]\ g \in \IF_{p}[X][/mm] ist. Kann ich jetzt daraus
> schliesse: [mm]\ \IF_{p}[X] \subset E[X] \subset K[X][/mm]. Also ist
> auch K Zerfällungskörper dieses Polynoms. Und wenn nicht,
> wie geht es sonst? Danke für die Hilfe!

So geht das nicht, da $K$ nicht Zerfaellungskoerper von $g$ ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls $m > 1$ ist, ein echter.) Beachte doch, dass $K$ ebenfalls ein endlicher Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was auf $K$ zugeschnitten ist.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Normale Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Fr 20.08.2010
Autor: hula


> So geht das nicht, da [mm]K[/mm] nicht Zerfaellungskoerper von [mm]g[/mm]
> ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls [mm]m > 1[/mm] ist, ein
> echter.) Beachte doch, dass [mm]K[/mm] ebenfalls ein endlicher
> Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was
> auf [mm]K[/mm] zugeschnitten ist.
>  
> LG Felix
>  

Naja der Grund warum $\ K $ ebenfalls ein endlicher Körper ist, ist weil er ein endlicher Vektorraum über einem endlichen Körper ist.
Naja, er sollte ja demnach gelten $\ |K| = [mm] (p^n)^m [/mm] = [mm] q^m [/mm] $. Also ist $\ K$ Zerfällungskörper des Polynoms $\ [mm] X^{q^m}-X \in F_p[X]$ [/mm] und somit habe ich die Eigenschaft Normal auch, richtig?

Bezug
                        
Bezug
Normale Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Fr 20.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> > So geht das nicht, da [mm]K[/mm] nicht Zerfaellungskoerper von [mm]g[/mm]
> > ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls [mm]m > 1[/mm] ist, ein
> > echter.) Beachte doch, dass [mm]K[/mm] ebenfalls ein endlicher
> > Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was
> > auf [mm]K[/mm] zugeschnitten ist.
>
> Naja der Grund warum [mm]\ K[/mm] ebenfalls ein endlicher Körper
> ist, ist weil er ein endlicher Vektorraum über einem
> endlichen Körper ist.
> Naja, er sollte ja demnach gelten [mm]\ |K| = (p^n)^m = q^m [/mm].
> Also ist [mm]\ K[/mm] Zerfällungskörper des Polynoms [mm]\ X^{q^m}-X \in F_p[X][/mm]
> und somit habe ich die Eigenschaft Normal auch, richtig?

Exakt :)

LG Felix


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gruppe, Ring, Körper"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]