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Normale Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:31 Fr 20.08.2010
Autor: hula

Aufgabe
Sei $\ E [mm] \subset [/mm] K $ eine Körpererweiterung mit $\ |E| = [mm] p^n=q$ [/mm] mit $\ p$ prim und $\ n$ eine natürliche Zahl. Der Grad der Erweiterung sei ebenfalls endlich und gleich m. Zeigen Sie, dass die Erweiterung galois ist.  

Hallöchen!

Ich würde gerne obige Aussage zeigen. Nun für endliche Erweiterung weiss ich, dass es genügt, wenn $\ K $ ein Zerfällungskörper eines separablen Polynoms $\ f [mm] \in [/mm] E[X] $ ist. So weit bin ich gekommen:

Da $\ E $ endlich ist, folgt, dass der Frobeniushomomorphismus surjektiv ist (wie im Beweis Klassifikation endlicher Körper). Daher ist der Körper $\ E $ vollkommen. (folgt aus einem Satz von Steinitz). Dies bedeutet wiederum, dass $\ E [mm] \subset [/mm] K$ separabel ist. Nun ich weiss ja aus dem Klassifikationssatz, dass der Körper $\ E $ bis auf Isomorphie eindeutig ist und ein Zerfällungskörper eines Polynoms $\ g [mm] \in \IF_{p}[X]$ [/mm] ist. Kann ich jetzt daraus schliesse: $\ [mm] \IF_{p}[X] \subset [/mm] E[X] [mm] \subset [/mm] K[X]$. Also ist auch K Zerfällungskörper dieses Polynoms. Und wenn nicht, wie geht es sonst? Danke für die Hilfe!

        
Bezug
Normale Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Fr 20.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> Sei [mm]\ E \subset K[/mm] eine Körpererweiterung mit [mm]\ |E| = p^n=q[/mm]
> mit [mm]\ p[/mm] prim und [mm]\ n[/mm] eine natürliche Zahl. Der Grad der
> Erweiterung sei ebenfalls endlich und gleich m. Zeigen Sie,
> dass die Erweiterung galois ist.
>  
> Ich würde gerne obige Aussage zeigen. Nun für endliche
> Erweiterung weiss ich, dass es genügt, wenn [mm]\ K[/mm] ein
> Zerfällungskörper eines separablen Polynoms [mm]\ f \in E[X][/mm]
> ist. So weit bin ich gekommen:
>  
> Da [mm]\ E[/mm] endlich ist, folgt, dass der Frobeniushomomorphismus
> surjektiv ist (wie im Beweis Klassifikation endlicher
> Körper). Daher ist der Körper [mm]\ E[/mm] vollkommen. (folgt aus
> einem Satz von Steinitz). Dies bedeutet wiederum, dass [mm]\ E \subset K[/mm]
> separabel ist.

[ok]

> Nun ich weiss ja aus dem
> Klassifikationssatz, dass der Körper [mm]\ E[/mm] bis auf
> Isomorphie eindeutig ist und ein Zerfällungskörper eines
> Polynoms [mm]\ g \in \IF_{p}[X][/mm] ist. Kann ich jetzt daraus
> schliesse: [mm]\ \IF_{p}[X] \subset E[X] \subset K[X][/mm]. Also ist
> auch K Zerfällungskörper dieses Polynoms. Und wenn nicht,
> wie geht es sonst? Danke für die Hilfe!

So geht das nicht, da $K$ nicht Zerfaellungskoerper von $g$ ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls $m > 1$ ist, ein echter.) Beachte doch, dass $K$ ebenfalls ein endlicher Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was auf $K$ zugeschnitten ist.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Normale Erweiterung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Fr 20.08.2010
Autor: hula


> So geht das nicht, da [mm]K[/mm] nicht Zerfaellungskoerper von [mm]g[/mm]
> ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls [mm]m > 1[/mm] ist, ein
> echter.) Beachte doch, dass [mm]K[/mm] ebenfalls ein endlicher
> Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was
> auf [mm]K[/mm] zugeschnitten ist.
>  
> LG Felix
>  

Naja der Grund warum $\ K $ ebenfalls ein endlicher Körper ist, ist weil er ein endlicher Vektorraum über einem endlichen Körper ist.
Naja, er sollte ja demnach gelten $\ |K| = [mm] (p^n)^m [/mm] = [mm] q^m [/mm] $. Also ist $\ K$ Zerfällungskörper des Polynoms $\ [mm] X^{q^m}-X \in F_p[X]$ [/mm] und somit habe ich die Eigenschaft Normal auch, richtig?

Bezug
                        
Bezug
Normale Erweiterung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Fr 20.08.2010
Autor: felixf

Moin!

> > So geht das nicht, da [mm]K[/mm] nicht Zerfaellungskoerper von [mm]g[/mm]
> > ist, sondern ein Oberkoerper davon! (Falls [mm]m > 1[/mm] ist, ein
> > echter.) Beachte doch, dass [mm]K[/mm] ebenfalls ein endlicher
> > Koerper ist (warum?). Du brauchst schon ein Polynom, was
> > auf [mm]K[/mm] zugeschnitten ist.
>
> Naja der Grund warum [mm]\ K[/mm] ebenfalls ein endlicher Körper
> ist, ist weil er ein endlicher Vektorraum über einem
> endlichen Körper ist.
> Naja, er sollte ja demnach gelten [mm]\ |K| = (p^n)^m = q^m [/mm].
> Also ist [mm]\ K[/mm] Zerfällungskörper des Polynoms [mm]\ X^{q^m}-X \in F_p[X][/mm]
> und somit habe ich die Eigenschaft Normal auch, richtig?

Exakt :)

LG Felix


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