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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | | Zeigen Sie: Jede Gruppe der Ordnung 30 bzw. 56 hat eine nicht-triviale normale Sylowgruppe. |
Hallo,
ich würde mich freuen, wenn jemand die Zeit finden würde, über meine Lösung zu schauen.
Sei zunächst [mm] $G\:$ [/mm] Gruppe mit $ord [mm] \:G=30=2 \cdot [/mm] 3 [mm] \cdot [/mm] 5$
Bezeichne [mm] $s_p:= \# Syl_p(G)$ [/mm] die Anzahl der p-Sylowgruppen in [mm] $G\:$ [/mm] für $p [mm] \in \{2,3,5\}$.
[/mm]
Da [mm] $s_3 \equiv [/mm] 1 [mm] \:mod\: [/mm] 3$ und [mm] $s_3 \:|\: [/mm] 30$, folgt bereits [mm] $s_3 \in \{1,10\}$.
[/mm]
Die 3-Sylowgruppen sind zyklisch, damit ist ihr Schnitt jeweils nur das neutrale Element.
Ist [mm] $s_3 [/mm] = 1$, so ist die einzige 3-Sylowgruppe [mm] $S_3\:$ [/mm] nichttrivialer Normalteiler, denn: Sei [mm] $s\:$ [/mm] ein Erzeuger von [mm] $S_3$. [/mm] Angenommen, [mm] $gsg^{-1} \not\in [/mm] S$ für ein $g [mm] \in [/mm] G$, so erzeugt [mm] $gsg^{-1}$ [/mm] eine weitere 3-Sylowgruppe [mm] $\{1, gsg^{-1}, gs^2g^{-1}\}$, [/mm] was im Widerspruch zu [mm] $s_3=1$ [/mm] steht, also ist [mm] $gS_3g^{-1} \subset S_3$ [/mm] für alle $g [mm] \in [/mm] G$
Ist [mm] $s_3=10$, [/mm] so bestehen alle 3-Sylowgruppen aus 20 Elementen der Ordnung 3, die paarweise verschieden sind. Die 20 Elemente der Ordnung 3 können kein Element einer 2- bzw. 5-Sylowgruppe sein. Eine 2- und eine 5-Sylowgruppe haben auch trivialen Schnitt. Da sie Gesamtzahl der Elemente nur 30 beträgt, kann es damit entweder nur eine 2-Sylowgruppe oder nur eine 5-Sylowgruppe geben. Diese einzige p-Sylowgruppe ist dann zwingend, analog zu obiger Argumentation, Normalteiler in [mm] $G\:$
[/mm]
Geht das nicht auch scheller, einfacher, eleganter? Stimmt es überhaupt?
Sei nun [mm] $ord\: [/mm] G = [mm] 2^3 \cdot [/mm] 7$
Die 7-Sylowgruppen haben paarweise trivialen Schnitt, da sie sonst aufgrund der Zyklizität identisch wären.
Es ist aufgrund der Bedingungen aus den Sylowsätzen [mm] $s_7 \in \{1,8\}$
[/mm]
Ist [mm] $s_7=8$ [/mm] so enthalten die 7-Sylowgruppen 48 paarweise verschiedene Elemente der Ordnung 7. Damit kann es nur noch eine 2-Sylowgruppe [mm] $S_2$ [/mm] mit 8 Elementen geben. Sei $s [mm] \in S_2 \Rightarrow [/mm] ord [mm] \s \:|\: [/mm] 8$. Angenommen [mm] $gsg^{-1} \not\in S_2$ [/mm] für ein $g [mm] \in [/mm] G [mm] \Rightarrow U:= \not\subset S_2$, [/mm] es hat [mm] $U\:$ [/mm] eine 2-er Potenz als Ordnung, also muss sie in einer 2-Sylowgruppe enthalten sein. Also gäbe es eine weitere von [mm] $S_2$ [/mm] verschiedene 2-Sylowgruppe, was im Falle [mm] $s_7=8$ [/mm] nicht sein kann. Also ist dann [mm] $S_2$ [/mm] Normalteiler.
Im Fall [mm] $s_7=1$ [/mm] ist die einzige 7-Sylowgruppe Normalteiler (Argumentation wie oben),
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Lippel
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Hallo, zunächst mal nur zu [mm] $\abs{G}=30=2\cdot 3\cdot [/mm] 5$ .
Es gilt [mm] $s_5 \:|\: 30=2\cdot 3\cdot [/mm] 5$ und $ [mm] s_5 \equiv [/mm] 1 [mm] \:mod\: [/mm] 5 $, also konkret bleibt [mm] $s_5 \:|\: 2\cdot [/mm] 3$ und $ [mm] s_5 \equiv [/mm] 1 [mm] \:mod\: [/mm] 5 $. Also ergibt sich [mm] $s_5=1$. [/mm] Also existiert nur eine $5$-Sylow-Untergruppe, bezeichne diese mit [mm] $U_5$. [/mm] Nach den Sylow-Sätzen sind $p$-Sylow-UG ($p$ Primzahl) zueinander konjugiert, also ist [mm] $U_5$ [/mm] zu sich selbst konjugiert (da es ja nur diese eine $5$-Sylow-Untergruppe gibt). Das bedeutet per Definition aber nichts anderes (einmal hinschreiben, wenn diese Bedingung nicht klar ist) als dass [mm] $U_5$ [/mm] ein Normalteiler in $G$ ist. [mm] $U_5$ [/mm] hat die Ordnung $5$. Daher ist [mm] $U_5$ [/mm] eine nichttriviale ($G$ hatte ja Ordnung 30) Sylow-UG von $G$, die Normalteiler in $G$ ist. Fertig.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, vielen Dank für deine Antwort!
> Hallo, zunächst mal nur zu [mm]\abs{G}=30=2\cdot 3\cdot 5[/mm] .
>
> Es gilt [mm]s_5 \:|\: 30=2\cdot 3\cdot 5[/mm] und [mm]s_5 \equiv 1 \:mod\: 5 [/mm],
> also konkret bleibt [mm]s_5 \:|\: 2\cdot 3[/mm] und [mm]s_5 \equiv 1 \:mod\: 5 [/mm].
> Also ergibt sich [mm]s_5=1[/mm]. Also existiert nur eine
> [mm]5[/mm]-Sylow-Untergruppe, bezeichne diese mit [mm]U_5[/mm]. Nach den
> Sylow-Sätzen sind [mm]p[/mm]-Sylow-UG ([mm]p[/mm] Primzahl) zueinander
> konjugiert, also ist [mm]U_5[/mm] zu sich selbst konjugiert (da es
> ja nur diese eine [mm]5[/mm]-Sylow-Untergruppe gibt). Das bedeutet
> per Definition aber nichts anderes (einmal hinschreiben,
> wenn diese Bedingung nicht klar ist) als dass [mm]U_5[/mm] ein
> Normalteiler in [mm]G[/mm] ist. [mm]U_5[/mm] hat die Ordnung [mm]5[/mm]. Daher ist [mm]U_5[/mm]
> eine nichttriviale ([mm]G[/mm] hatte ja Ordnung 30) Sylow-UG von [mm]G[/mm],
> die Normalteiler in [mm]G[/mm] ist. Fertig.
Ich verstehe deine Begründung, bis auf einen Schritt ganz am Amfang. Warum muss [mm] $s_5 [/mm] = 1$ sein und kann nicht etwa 6 sein. Denn gibt es 6 5-Sylow-UG, so enthalten diese nur $4 [mm] \cdot [/mm] 6 = 24$ verschiedene Elemente der Ordnung 5, da die 5-Sylow-UG trivialen Schnitt haben und in Gruppen von Primzahlordnung p alle Elemente, außer das neutrale, die Ordnung p haben. Gibt es nun aber 24 Elemente der Ordnung 5, so bleiben ja noch genügend Elemente für die 2- und 3- Sylowuntergruppen übrig.
Was verstehe ich da falsch?
LG Lippel
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Hallo,
für den Fall [mm] $s_5=6$ [/mm] muss man mit den anderen Sylow-Gruppen argumentieren.
Zunächst weiss man, dass nach Sylow-Sätzen $2,3,5$-Sylow-UGen von $G$ existieren. Nimm jetzt mal den Fall an, dass [mm] $s_5=6$ [/mm] gilt. Dann hat man ja, wie Du bemerkt hast, [mm] $4\cdot [/mm] 6=24$ verschiedene Elemente der Ordnung $5$. Bleiben also für $G$ noch $30-24-$neutrales Element $=5$ Elemente übrig, die nicht die Ordnung $1$ oder $5$ haben.
Es gilt $ [mm] s_3 \in \{1,10\} [/mm] $ und $ [mm] s_2 \in \{1,3,5,15\} [/mm] $. Nach Sylow-Sätzen existieren jetzt mindestens eine $2$-Sylow-Gruppe und eine $3$-Sylow-Gruppe. Annahme: [mm] $s_2=3$. [/mm] Diese $2$-Sylow-Gruppen haben wieder nur trivialen Schnitt und Ordnung $2$. Dann hat man [mm] $3\cdot [/mm] 1=3$ Elemente der Ordnung $2$.
Also bleiben jetzt für $G$ $30-25-3=2$ Elemente übrig.
Dann betrachte den Fall [mm] $s_3=1$ [/mm] (eine $3$-Sylow-Gruppen muss ja existieren): $3$-Sylow-Gruppen haben die Ordnung $3$, also besitzen diese Gruppen $2$ Elemente der Ordnung $3$. Da man für $G$ noch $30-25-3=2$ Elemente übrig hat, kann es also genau eine $3$-Sylow-Gruppe geben (sonst Widerspruch falls [mm] $s_3=10$, [/mm] zu viele Elemente). Diese eine $3$-Sylow-Gruppe ist dann ein Normalteiler in $G$ (analog wie im Fall [mm] $s_5=1$ [/mm] argumentiert).
Falls [mm] $s_2>3$, [/mm] also $5$ oder $15$, dann gäbe es einen Widerspruch zu den maximal $30$ Elementen von $G$ und $G$ könnte gar keine $3$-Sylow-Untergruppe haben, was ja nicht stimmt, da die Existenz nach Sylow-Sätzen sichergestellt ist.
Falls [mm] $s_2=1$, [/mm] dann kannst Du ganz analog wie im Fall [mm] $s_5=1$ [/mm] argumentieren, dass diese eine $2$-Sylow-Gruppe ein Normalteiler in $G$ ist.
So, ich denke das wars, sonst fragen.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habs verstanden, denke ich.
LG Lippel
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