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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Di 23.03.2010 | | Autor: | MosDef |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
(a) Ist [mm] N\subseteq [/mm] G eine normale Untergruppe, so induziert
[g][h] := [gh] [mm] \forall [/mm] g,h [mm] \in [/mm] G
eine Gruppenstruktur auf [mm] G_{/N}
[/mm]
(b) Ist H eine weitere Gruppe und f: [mm] G\to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus, so ist [mm] ker(f)\subseteq [/mm] G eine normale Untergruppe und f induziert einen injektiven Gruppenhomomorphismus
[mm] \overline{f}: G_{/ker(f)}\to [/mm] H , [mm] [g]\mapsto [/mm] f(g) |
Leider habe ich kaum Ahnung, wie ich da ran gehen soll... Bei der (a) nehme ich an, dass die Gruppenaxiome nachgewiesen werden müssen. Probleme bereitet mir dabei der Ausdruck [mm] G_{/N}. [/mm] Was bedeutet das genau?
Bei der (b) muss ich mir die verschiedenen Definitionen nochmal anschauen, vielleicht bekomme ich dann eine Ahnung, was überhaupt zu tun ist.
Über jegliche Art von Hilfe würde ich mich aber sehr freuen.
Mos
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
>
> (a) Ist [mm]N\subseteq[/mm] G eine normale Untergruppe, so induziert
> [g][h] := [gh] [mm]\forall[/mm] g,h [mm]\in[/mm] G
> eine Gruppenstruktur auf [mm]G_{/N}[/mm]
>
> (b) Ist H eine weitere Gruppe und f: [mm]G\to[/mm] H ein
> Gruppenhomomorphismus, so ist [mm]ker(f)\subseteq[/mm] G eine
> normale Untergruppe und f induziert einen injektiven
> Gruppenhomomorphismus
> [mm]\overline{f}: G_{/ker(f)}\to[/mm] H , [mm][g]\mapsto[/mm] f(g)
> Leider habe ich kaum Ahnung, wie ich da ran gehen soll...
> Bei der (a) nehme ich an, dass die Gruppenaxiome
> nachgewiesen werden müssen. Probleme bereitet mir dabei
> der Ausdruck [mm]G_{/N}.[/mm] Was bedeutet das genau?
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorgruppe
FRED
> Bei der (b) muss ich mir die verschiedenen Definitionen
> nochmal anschauen, vielleicht bekomme ich dann eine Ahnung,
> was überhaupt zu tun ist.
>
> Über jegliche Art von Hilfe würde ich mich aber sehr
> freuen.
>
> Mos
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 23.03.2010 | | Autor: | MosDef |
> > Bei der (a) nehme ich an, dass die Gruppenaxiome
> > nachgewiesen werden müssen. Probleme bereitet mir dabei
> > der Ausdruck [mm]G_{/N}.[/mm] Was bedeutet das genau?
>
> Schau mal hier:
>
> http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorgruppe
>
> FRED
Handelt es sich hierbei dann um die "Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > Bei der (a) nehme ich an, dass die Gruppenaxiome
> > > nachgewiesen werden müssen. Probleme bereitet mir dabei
> > > der Ausdruck [mm]G_{/N}.[/mm] Was bedeutet das genau?
> >
> > Schau mal hier:
> >
> > http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorgruppe
> >
> > FRED
>
> Handelt es sich hierbei dann um die "Restklassengruppe der
> additiven Gruppe der ganzen Zahlen"?
Es ist allgemeiner gemeint:
Die Elemente von G / N sind die Nebenklassen bezüglich N, also
G/N := [mm] \{ gN : g \in G \}. [/mm]
FRED
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:59 Di 23.03.2010 | | Autor: | MosDef |
Was nun genau zu tun ist, weiß ich immernoch nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 25.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 17:39 So 04.04.2010 | | Autor: | MosDef |
> Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
>
> (a) Ist [mm]N\subseteq[/mm] G eine normale Untergruppe, so induziert
> [g][h] := [gh] [mm]\forall[/mm] g,h [mm]\in[/mm] G
> eine Gruppenstruktur auf [mm]G_{/N}[/mm]
>
> (b) Ist H eine weitere Gruppe und f: [mm]G\to[/mm] H ein
> Gruppenhomomorphismus, so ist [mm]ker(f)\subseteq[/mm] G eine
> normale Untergruppe und f induziert einen injektiven
> Gruppenhomomorphismus
> [mm]\overline{f}: G_{/ker(f)}\to[/mm] H , [mm][g]\mapsto[/mm] f(g)
Hier meine Lösung zur (a):
Zunächst weise ich die Wohldefiniertheit nach:
Seien g', h' [mm] \in [/mm] G mit [g']=[g] und [h']=[h]. Dann gibt es m,n [mm] \in [/mm] N mit g'=gm und h'=hn.
So ist [mm] g'h'=gmhn=ghh^{-1}mhn [/mm] (da G Gruppe und [mm] hh^{-1}=e). [/mm]
[mm] h^{-1}mh \in [/mm] N da N normale Untergruppe (stimmt das??) und somit [mm] h^{-1}mhn=:n' \in [/mm] N, also g'h'=ghn'.
Daraus folgt: [g'h']=[gh]
Nun G/N ist Gruppe:
Ass.: Seien g,h,i [mm] \in [/mm] G. Dann ist
([g][h])[i]=[gh][i]=[(gh)i]=[g(hi)]=[g][hi]=[g]([h][i])
n.E.: [e] (e n.E. in G), da [e][g]=[eg]=[g]=[ge]=[g][e]
i.E.: [mm] [g^{-1}] (g^{-1} [/mm] i.E. zu g in G),
da [mm] [g^{-1}][g]=[g^{-1}g]=[e]=[gg^{-1}]=[g][g^{-1}]
[/mm]
Kann mir jemand sagen, ob diese Lösung korrekt ist?
Mach mich jetzt an die (b)...
Grüße, Mos
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:18 So 04.04.2010 | | Autor: | MosDef |
> > Sei G eine Gruppe. Zeigen Sie:
> >
> > (a) Ist [mm]N\subseteq[/mm] G eine normale Untergruppe, so induziert
> > [g][h] := [gh] [mm]\forall[/mm] g,h [mm]\in[/mm] G
> > eine Gruppenstruktur auf [mm]G_{/N}[/mm]
> >
> > (b) Ist H eine weitere Gruppe und f: [mm]G\to[/mm] H ein
> > Gruppenhomomorphismus, so ist [mm]ker(f)\subseteq[/mm] G eine
> > normale Untergruppe und f induziert einen injektiven
> > Gruppenhomomorphismus
> > [mm]\overline{f}: G_{/ker(f)}\to[/mm] H , [mm][g]\mapsto[/mm] f(g)
>
> Hier meine Lösung zur (a):
>
> Zunächst weise ich die Wohldefiniertheit nach:
> Seien g', h' [mm]\in[/mm] G mit [g']=[g] und [h']=[h]. Dann gibt es
> m,n [mm]\in[/mm] N mit g'=gm und h'=hn.
> So ist [mm]g'h'=gmhn=ghh^{-1}mhn[/mm] (da G Gruppe und [mm]hh^{-1}=e).[/mm]
> [mm]h^{-1}mh \in[/mm] N da N normale Untergruppe (stimmt das??) und
> somit [mm]h^{-1}mhn=:n' \in[/mm] N, also g'h'=ghn'.
> Daraus folgt: [g'h']=[gh]
>
> Nun G/N ist Gruppe:
> Ass.: Seien g,h,i [mm]\in[/mm] G. Dann ist
> ([g][h])=[gh]=[(gh)i]=[g(hi)]=[g][hi]=[g]([h])
> n.E.: [e] (e n.E. in G), da [e][g]=[eg]=[g]=[ge]=[g][e]
> i.E.: [mm][g^{-1}] (g^{-1}[/mm] i.E. zu g in G),
> da [mm][g^{-1}][g]=[g^{-1}g]=[e]=[gg^{-1}]=[g][g^{-1}][/mm]
>
> Kann mir jemand sagen, ob diese Lösung korrekt ist?
> Mach mich jetzt an die (b)...
>
> Grüße, Mos
Nun denn, (b):
- ker(f) ist normal: z.z. [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] ker(f) ist [mm] gag^{-1} \in [/mm] ker(f)
Bew: [mm] f(gag^{-1})=f(g)f(a)f(g)^{-1} [/mm] (da f Gruppenhom.) [mm] =f(g)f(g)^{-1} [/mm] (da [mm] f(a)=e_{H}) [/mm] = [mm] e_{H} \in [/mm] ker(f)
- [mm] \overline{f} [/mm] ist Gruppenhom.: z.z. [mm] \forall [/mm] [g],[h] [mm] \in [/mm] G/ker(f) ist [mm] \overline{f}([g][h])=\overline{f}([g])\overline{f}([h])
[/mm]
Bew: [mm] \overline{f}([g][h])=\overline{f}([gh])=f(gh)=f(g)f(h) [/mm] (da f Gruppenhom.) [mm] =\overline{f}([g])\overline{f}([h])
[/mm]
- [mm] \overline{f} [/mm] ist injektiv: z.z. [mm] \overline{f}([g])=\overline{f}([g'])\Rightarrow [/mm] [g]=[g']
Bew: Sei [mm] \overline{f}([g])=\overline{f}([g']). [/mm] Dann ist f(g)=f(g'), also [mm] e_{H}=f(g)^{-1}f(g')=f(g^{-1}g') [/mm] (da f Gruppenhom.). Damit ist [mm] g^{-1}g'=:h \in [/mm] ker(f), also g'=gh und folglich [g']=[g].
...hab eigentlich ein ganz gutes Gefühl. Wäre aber trotzdem dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, ob das auch wirklich alles stimmt...
Gruß, Mos
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Do 08.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 Do 08.04.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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