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| Aufgabe | Eine Normale N ist eine Gerade, die im Berührunkt einer Tangente T mit dem Graphen einer Funktion senkrecht auf der Tangente steht.
a) Leite her: [mm] m_{N}*m_{T}=-1
[/mm]
b) Bilde beim Beispiel der Funktion f mit f(x) = ln x die Gleichung der Normalen zu f an der Stelle x=2 |
Ich bitte darum mir hierbei alles zu erklären...
Werder weiß ich, was ich machen soll, noch worum es hier eigentlich geht.
MLG
Legends
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Sa 20.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich bitte darum mir hierbei alles zu erklären...
Also, was eine Gerade ist, was eine Funktion ist, was ein Graph ist sollen wir alles erklären? Das wird schnell den Rahmen des Forums sprengen ... auf welchen Grund können wir ansetzen?
> Werder weiß ich, was ich machen soll, noch worum es hier
> eigentlich geht.
Wenn du nach "normale und tangente" googlest, gibt es viele Treffer, die das Thema breittreten.
SEcki
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> Also, was eine Gerade ist, was eine Funktion ist, was ein
> Graph ist sollen wir alles erklären? Das wird schnell den
> Rahmen des Forums sprengen ... auf welchen Grund können
> wir ansetzen?
Ich dachte dabei weniger an die grundlegende Erklärung von Graph, Funktion, usw., als vielmehr an einen detailierten, nachvollziebaren Lösungsweg für die Aufgabe.
Ich verstehe, wie gesagt, nicht, was ich bei dieser Aufgabe machen soll, was verlangt wird.
MLG
Legends
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Sa 20.02.2010 | | Autor: | abakus |
> > Also, was eine Gerade ist, was eine Funktion ist, was ein
> > Graph ist sollen wir alles erklären? Das wird schnell den
> > Rahmen des Forums sprengen ... auf welchen Grund können
> > wir ansetzen?
>
> Ich dachte dabei weniger an die grundlegende Erklärung von
> Graph, Funktion, usw., als vielmehr an einen detailierten,
> nachvollziebaren Lösungsweg für die Aufgabe.
> Ich verstehe, wie gesagt, nicht, was ich bei dieser
> Aufgabe machen soll, was verlangt wird.
>
> MLG
> Legends
>
Hallo,
zeichne dir mal die Gerade y=2x in ein Koordinatensystem; dazu das Steigungdreieck ("eine Einheit in x-Richtung und 2 Einheiten in y-Richtung").
Drehen nun diese Gerade (um den Ursprung) mitsamt ihrem Steigungsdreieck um 90°.
Beantworte dir dann selbst zwei Fragen:
1) Welchen Anstieg hat die gedrehte Gerade?
2) Wie viele Schritte in x- und in y-Richtung muss ich im gedrehten Steigungsdreieck gehen?
Gruß Abakus
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> Hallo,
> zeichne dir mal die Gerade y=2x in ein Koordinatensystem;
> dazu das Steigungdreieck ("eine Einheit in x-Richtung und 2
> Einheiten in y-Richtung").
Bist du dir hier sicher? müsste es nicht umgekehrt sein ( 2 TE auf der X-Achse, 1 TE auf der Y-Achse um auf die Steigung von 0,5 zu kommen?)
> Drehen nun diese Gerade (um den Ursprung) mitsamt ihrem
> Steigungsdreieck um 90°.
Mit oder gegen den Urzeigersinn?
Ok, ist eigentlich egal, ich komme in beiden Fällen auf die Steigung -2 (welch ein Wunder *G*)
> Beantworte dir dann selbst zwei Fragen:
> 1) Welchen Anstieg hat die gedrehte Gerade?
> 2) Wie viele Schritte in x- und in y-Richtung muss ich im
> gedrehten Steigungsdreieck gehen?
> Gruß Abakus
1) habe ich darüber schon beantwortet
2) naja, bei der Ausgangsgleichung waren es [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
, bei der gedrehten waren es [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Leider weiß ich noch nicht, wie mir dies weiterhelfen soll :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Sa 20.02.2010 | | Autor: | dxlegends |
Hmm, ich glaube es hat gerade klick gemacht -.-
Also, ich habe einmal die Steigung von [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] und einmal die von [mm] \vektor{1 \\ -2}
[/mm]
diese eingesetzt ergeben dann die Gleichung: [mm] \vektor{2 \\ 1}*\vektor{1 \\ -2}
[/mm]
= [mm] \vektor{2 \\ -2} [/mm] = -1
stimmts?
Bleibt noch Aufgabe b über -.-
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Multipliziert man die Steigungen [mm] (m_t [/mm] und [mm] m_n) [/mm] zweier Geraden, die senkrecht aufeinander stehen, miteinander, ist das Ergebnis -1.
Eine Normale ist, wie eine Tangente auch, eine Gerade, die senkrecht auf der Tangente steht, eben im Berührpunkt der Tangente am Graphen.
Den x-Wert des Berührpunktes hast du ja schon gegeben, die y-Koordinate errechnest du dir. f'(x) ergibt dein [mm] m_t. [/mm]
Das ganze setzt du in die Gleichung [mm] t(x)=m_t*x+b [/mm] ein und errechnest dir die Tangentengleichung.
Wenn du die Gleichung [mm] m_t [/mm] * [mm] m_n [/mm] = -1 entsprechend umstellst, bekommst du auch die Steigung der Normalen heraus.
Ich hoffe, dass hilft dir wenigstens bei Aufgabe b) weiter.
Viele Grüße!
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Also, das x ist gegeben, nämlich x=2
Die Ableitung von ln(2) ist [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
Aber wie kam ich an das b?
derzeit ist die Gleichung wie folgt gefüllt:
t(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 2 +b
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für t(x) setzt du den passenden y-wert von deiner x-Koordinate ein und kannst dann ganz bequem b ausrechnen
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Fragen über Fragen *g*
Also, mein GTR gibt mir für f(x) = ln x an, dass bei x=2 y=0,693 (gerundet) ist.
setze ich dies nun in die Ausgangsgleichung ein, dann ergibt sich daraus folgende Gleichung:
t(x) = [mm] m_{t}*x [/mm] + b
0,693 = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *2 + b
--> 0,693-1 =b
--> 0,307= b
daraus folgt:
t(2) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] *2 + 0,307
Nur wie komme ich von hieraus zur gesuchten Normalen?
Klar, wenn [mm] m_{T}*m_{N}= [/mm] -1 gilt, dann ergibt sich für mich daraus,
dass [mm] \bruch{-1}{m_{T}}=m_{N} [/mm] ergibt,
allerdings ist die Tangente in meinem GTR parallel zur x-Achse und somit eine Schnittgerade zu f(x)...
liegt der Fehler in meiner Rechnung oder in der Einsetzung bzw. Formulierung der Formel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:17 Sa 20.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Fragen über Fragen *g*
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> Also, mein GTR gibt mir für f(x) = ln x an, dass bei x=2
> y=0,693 (gerundet) ist.
Nicht runden. Der Wert heißt ln 2. Basta.
> setze ich dies nun in die Ausgangsgleichung ein, dann
> ergibt sich daraus folgende Gleichung:
>
> t(x) = [mm]m_{t}*x[/mm] + b
>
> 0,693 = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *2 + b
> --> 0,693-1 =b
> --> 0,307= b
Das müsste -0,307 sein (oder 1- ln 2).
Aber das ist unerheblich. Für die Normale brauchst du nicht die komplette Tangentengleichung, sondern nur den Tangentenanstieg (und der ist - ich habe nicht nachgerechnet- bei dir 2).
Deine Tangente hat den Anstieg 2. Welchen Anstieg hat eine Gerade, die senkrecht auf einer Geraden mit dem Anstieg 2 steht? (An der Antwort hast du zu Beginn dieses Threads lange gekämpft.)
Gruß Abakus
>
> daraus folgt:
> t(2) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] *2 + 0,307
>
> Nur wie komme ich von hieraus zur gesuchten Normalen?
>
> Klar, wenn [mm]m_{T}*m_{N}=[/mm] -1 gilt, dann ergibt sich für mich
> daraus,
> dass [mm]\bruch{-1}{m_{T}}=m_{N}[/mm] ergibt,
> allerdings ist die Tangente in meinem GTR parallel zur
> x-Achse und somit eine Schnittgerade zu f(x)...
> liegt der Fehler in meiner Rechnung oder in der Einsetzung
> bzw. Formulierung der Formel?
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Hallo, du hast f(x)=ln(x) somit ist [mm] f'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] somit ist [mm] f'(x)=\bruch{1}{4} [/mm] die Normale hat also die Steigung -4, zur Tangente und zur Nrmale gehört der Punkt (2;f(2)), damit kannst du n der Tangente und der Normale berechnen Steffi
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>Hallo, du hast f(x)=ln(x) somit ist $ [mm] f'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] $ somit ist $ [mm] >f'(x)=\bruch{1}{4} [/mm] $
Warum [mm] \bruch{1}{4}??
[/mm]
Der vorgegebene x-Wert ist doch 2, eingesetzt in f'(x) müsste es doch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] werden, oder nicht?
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Hallo dxlegends,
> >Hallo, du hast f(x)=ln(x) somit ist [mm]f'(x)=\bruch{1}{x}[/mm]
> somit ist [mm]>f'(x)=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Warum [mm]\bruch{1}{4}??[/mm]
> Der vorgegebene x-Wert ist doch 2, eingesetzt in f'(x)
> müsste es doch [mm]\bruch{1}{2}[/mm] werden, oder nicht?
Da hast Du recht.
Gruss
MathePower
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