Normaleneinheitsvektor < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Sa 12.03.2011 | | Autor: | coucou |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Normaleneinheitsvektor der Geraden
[mm] \vektor{ 0\\-7 \\0 } [/mm] + r [mm] \vektor{ 0\\ 1\\ 1 } [/mm] |
Hallo!
Ich bin leider etwas verwirrt. Wie kann man denn mit nur einem Richtungsvektor den dazugehörigen Normalenvektor ausrechnen? Man kann so ja weder das Kreuzprodukt benutzen, noch hat man zwei Richtungsvektoren zu denen ein Vektor [mm] \vec{n} [/mm] orthogonal sein könnte, sodass man mit Hilfe eines Gleichungssystems auf die Lösung kommt.
Ich weiß also, wie man bei Ebenen auf den Normalenvektor kommt, aber bei Geraden?
Vielen Dank im Voraus,
coucou
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Guten Abend,
> Berechnen Sie den Normaleneinheitsvektor der Geraden
> [mm]\vektor{ 0\\-7 \\0 }[/mm] + r [mm]\vektor{ 0\\ 1\\ 1 }[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich bin leider etwas verwirrt. Wie kann man denn mit nur
> einem Richtungsvektor den dazugehörigen Normalenvektor
> ausrechnen? Man kann so ja weder das Kreuzprodukt benutzen,
> noch hat man zwei Richtungsvektoren zu denen ein Vektor
> [mm]\vec{n}[/mm] orthogonal sein könnte, sodass man mit Hilfe eines
> Gleichungssystems auf die Lösung kommt.
> Ich weiß also, wie man bei Ebenen auf den Normalenvektor
> kommt, aber bei Geraden?
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia:
Nimm einen Vektor [mm] \neq0, [/mm] der senkrecht auf dem Richtungsvektor steht und normiere ihn.
Es gibt mehrere Möglichkeiten.
>
> Vielen Dank im Voraus,
> coucou
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Sa 12.03.2011 | | Autor: | coucou |
Hallo!
Genau das ist ja mein Problem: bei einer Ebene habe ich ja zwei Richtungsvektoren, die jeweils senkrecht auf (n1/n2/n3) stehen. Ich bilde also jeweils das Skalarprodukt, kann n1 durch n2 ausdrücken etc. und habe am Ende meinen Normalenvektor.
Aber bei einer Geraden habe ich ja nur einen Richtungsvektor, zu dem der Normalenvektor orthogonal ist.
In diesem Fall ist er zu (0/1/1) orthogonal. Ich komme also auf (0*n1) + (1*n2) + (1* n3)
n2+n3= 0
n2=-n3
n2=t
Mein Normalenvektor wäre also [mm] \vektor{variabel, ungleich 0 \\ t\\ -t}, [/mm] z.B.
[mm] \vektor{5\\ 1\\ -1}
[/mm]
Stimmt das?
Aber was wäre, wenn x nicht Null wäre? Dann würde n1 ja nicht wegfallen und variabel sein...
Liebe Grüße,
coucou
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Hi,
> Hallo!
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> Genau das ist ja mein Problem: bei einer Ebene habe ich ja
> zwei Richtungsvektoren, die jeweils senkrecht auf
> (n1/n2/n3) stehen. Ich bilde also jeweils das
> Skalarprodukt, kann n1 durch n2 ausdrücken etc. und habe
> am Ende meinen Normalenvektor.
> Aber bei einer Geraden habe ich ja nur einen
> Richtungsvektor, zu dem der Normalenvektor orthogonal ist.
> In diesem Fall ist er zu (0/1/1) orthogonal. Ich komme
> also auf (0*n1) + (1*n2) + (1* n3)
> n2+n3= 0
> n2=-n3
>
> n2=t
>
> Mein Normalenvektor wäre also [mm]\vektor{variabel, ungleich 0 \\ t\\ -t},[/mm]
Die erste Komponente darf genauso gut Null sein, ansonsten ist alles prima. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> z.B.
> [mm]\vektor{5\\ 1\\ -1}[/mm]
>
> Stimmt das?
Jo.
> Aber was wäre, wenn x nicht Null wäre? Dann würde n1 ja
> nicht wegfallen und variabel sein...
Meinst du, wenn der Richtungsvektor der Geraden in der ersten Komponente keine Null hätte? Na dann wären halt die Abhängigkeiten anders.
Weil die erste Komponente des Richtungsvektors der Ebene aber Null ist, darf [mm] n_1 [/mm] frei gewählt werden.
>
Am Ende musst du noch normalisieren, denn es ist ein Normaleneinheitsvektor gefordert.
> Liebe Grüße,
>
> coucou
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Sa 12.03.2011 | | Autor: | coucou |
Hallo!
Danke erstmal. :)
Wenn ich [mm] \vektor{5\\ 1\\ -1} [/mm] normalisieren will, teile ich einfach durch den Betrag, oder? Also wäre der Normaleneinheitsvektor dann [mm] \vektor{1\\ 1/5\\ -1/5}?
[/mm]
LG,
coucou
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> Hallo!
>
> Danke erstmal. :)
>
> Wenn ich [mm]\vektor{5\\ 1\\ -1}[/mm] normalisieren will, teile ich
> einfach durch den Betrag, oder? Also wäre der
> Normaleneinheitsvektor dann [mm]\vektor{1\\ 1/5\\ -1/5}?[/mm]
Nein, der Betrag ist [mm] \sqrt{5^2+1^2+(-1)^2}=\sqrt{27}.
[/mm]
>
> LG,
> coucou
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Sa 12.03.2011 | | Autor: | coucou |
Hallo!
Der Normaleineinheitsvektor lautet dann also [mm] \vektor{5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}\\ -1/\wurzel{27}} [/mm] ?
Und der Abstand des Punktes B(4/4/3) zur gegebenen Gerade g:
[mm] \vektor{ 0\\-7 \\0 } [/mm] + r [mm] \vektor{ 0\\ 1\\ 1 } [/mm]
Betrag von [mm] \vektor{4-0\\ 4+7\\ 3-0} [/mm] * [mm] \vektor{5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}\\ -1/\wurzel{27}} [/mm] ?
Also [mm] \wurzel{(5/\wurzel{27}-4)²+(1/\wurzel{27}-11)²}+ (-1\wurzel{27}-3)² [/mm] ? (Das Wurzelzeichen sollte eigentlich den ganzen Term umfassen.)
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Hallo coucou,
> Hallo!
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> Der Normaleineinheitsvektor lautet dann also
> [mm]\vektor{5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}\\ -1/\wurzel{27}}[/mm] ?
Du kannst doch als zweiten Richtungsvektor den Differenzvektor
des gegebenen Punktes zum Aufpunkt der Geraden nehmen.
>
> Und der Abstand des Punktes B(4/4/3) zur gegebenen Gerade
> g:
> [mm]\vektor{ 0\\-7 \\0 }[/mm] + r [mm]\vektor{ 0\\ 1\\ 1 }[/mm]
>
> Betrag von [mm]\vektor{4-0\\ 4+7\\ 3-0}[/mm] * [mm]\vektor{5/\wurzel{27} \\ 1/\wurzel{27}\\ -1/\wurzel{27}}[/mm]
> ?
>
> Also [mm]\wurzel{(5/\wurzel{27}-4)²+(1/\wurzel{27}-11)²}+ (-1\wurzel{27}-3)²[/mm]
> ? (Das Wurzelzeichen sollte eigentlich den ganzen Term
> umfassen.)
Gruss
MathePower
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