Normalenform der Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 So 12.03.2006 | | Autor: | cueMath |
| Aufgabe | Gegeben sind die Geraden g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 1} [/mm] + r * [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ -2} [/mm] und h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 6 \\ 5} [/mm] + s * [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 1} [/mm] sowie der Punkt P (3 | 3 | 1)
Aufgaben:
a) Geben Sie eine Ebenengleichung in Normalenform der Ebene E an, die durch den Punkt P und die Gerade g festgelegt ist.
b) Zeigen Sie, dass die Richtungsvektoren der Geraden g und h zueinander orthogonal sind, die Geraden aber zueinander windschief sind. |
Hallo Mathefeunde,
ich habe ein Problem bei der gegebenen Aufgabe.
Wie kann ich eine Normalenform aufstellen wenn ich Punkt und eine Gerade gegeben habe.
zu b) Um zu zeigen, dass [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\ -2} [/mm] und der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 4 \\ 1} [/mm] orthogonal zueinander sind, muss deren Skalarprodukt gleich 0 sein. Aber wie kann ich zeigen, dass die Geraden windschief sind???
Ich wäre für Ansätze sehr dankbar...
MfG
cueMath
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:22 So 12.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> ich habe ein Problem bei der gegebenen Aufgabe.
> Wie kann ich eine Normalenform aufstellen wenn ich Punkt
> und eine Gerade gegeben habe.
Naja, man findet ja recht schnell die Punkt-Richtungsform der Ebene
(also ein Aufpunkt und zwei lin. unabhängige Richtungsvektoren)
Denn sei Q der Aufpunkt von g und P der weitere Punkt, der nicht auf g liegt, dann ist der Vektor (P-Q) lin. unabhängig zum Richtungsvektor von g...
Du müsstest diese Form dann einfach noch in Normalenform umwandeln, aber das wird ja ehh ständig gefragt sein - weißt du denn, wie es geht?!?
(Forum-Suche oder ähnliches?)
>
> zu b) Um zu zeigen, dass [mm]\vektor{-2 \\ 1 \\ -2}[/mm] und der
> Vektor [mm]\vektor{1 \\ 4 \\ 1}[/mm] orthogonal zueinander sind,
> muss deren Skalarprodukt gleich 0 sein. Aber wie kann ich
> zeigen, dass die Geraden windschief sind???
>
Hier wäre doch ein einfacher Ansatz, dass du die beiden Geraden gleichsetzt und dann herausbekommst, dass es keine Lösung gibt.
(also, dass es keinen gemeinsamen Punkt gibt)
versuchst du es mal?
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 So 12.03.2006 | | Autor: | cueMath |
also wenn P(3/3/1) ein Punkt von E ist dann ist ja der Stützvektor von E schon mal 3/3/1
dann brauche ich noch zwei Spannvektoren:
für einen hattest du vorgeschlagen P-Q (Stützvektor von g, also Q (2/5/1))
also (3/3/1) - (2/5/1), das wäre dann (1/-2/0)
aber dann brauche ich ja noch einen 2. Spannvektor?? Wie kann ich den denn errechnen?
Gruß, CueMath
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:27 So 12.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
da habe ich mich wohl ein wenig knapp ausgedrückt - sorry !
Also ich meinte eigentlich ganz g nehmen (Stützvektor und Richtungsvektor) und zusätzlich den Vektor (P-Q) als zweiten Richtungsvektor.
Man spannt also an g noch eine zweite Richtung an, damit hat man dann eine Ebene.
viele Grüße
DaMenge
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