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Forum "Statistik (Anwendungen)" - Normalengleichung / Summe
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Normalengleichung / Summe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 Mi 23.01.2008
Autor: Martinius

Hallo,

in meinem Buch ist bei der Herleitung der Parameter für eine Ausgleichsgerade nach der Gaußschen Methode der kleinsten Quadrate ein Summenausdruck aufgetaucht, den ich nicht verstehe:

[mm] $n*\summe_{i} x_i^2-\left(\summe_{i} x_i\right)^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}\summe_{i} \summe_{j}(x_i-x_j)^2 [/mm] >0 $


Könnte bitte jemand etwas Erläuterndes dazu sagen?

Vielen Dank im voraus.

LG, Martinius

        
Bezug
Normalengleichung / Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:51 Mi 23.01.2008
Autor: luis52


>
> Könnte bitte jemand etwas Erläuterndes dazu sagen?
>  

>

Moin Martinius,

was ist denn unklar? Das Gleichhitszeichen? Die Ungleichung?

vg Luis

Bezug
                
Bezug
Normalengleichung / Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Mi 23.01.2008
Autor: Martinius

Moin luis,

dass das Ungleichheitszeichen stimmt, hab ich an einem Beispiel ausgerechnet.

Das Gleichheitszeichen ist mir unklar. Auch die Umindizierung, der Faktor [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] der verschwindende Faktor n, die Klammer mit den verschieden indizierten x'en im Quadrat. Die ganze Umformung eben.

Lg, Martinius



Bezug
        
Bezug
Normalengleichung / Summe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Mi 23.01.2008
Autor: luis52

Hallo Martinius,

schauen wir uns mal die Summen an und nennen sie (L)inks und (R)echts.

[mm] \begin{matrix} R&=& \summe_{i} \summe_{j}(x_i-x_j)^2\\ &=&\summe_{i} \summe_{j}(x_i^2-2x_ix_j+x_j^2) \\ &=&\summe_{i} \summe_{j}x_i^2-2\summe_{i}\summe_{j}x_ix_j +\summe_{i}\summe_{j}x_j^2\\ &=&n\summe_{i}x_i^2-2\summe_{i}\summe_{j}x_ix_j+n\summe_{j}x_j^2 \\ &=&2n\summe_{i}x_i^2-2\summe_{i}\summe_{j}x_ix_j \end{matrix} [/mm]

Weiter ist

[mm] \begin{matrix} L&=& n\summe_{i} x_i^2-\left(\summe_{i} x_i\right)^2\\ &=&n\summe_{i} x_i^2-\summe_{i} x_i\times\summe_{j} x_j \\ &=&n\summe_{i} x_i^2-\summe_{i}\summe_{j} x_i x_j\\ &=&R/2 \end{matrix} [/mm]


vg Luis    



Bezug
                
Bezug
Normalengleichung / Summe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:00 Mi 23.01.2008
Autor: Martinius

Hallo luis,

Super! Ich wusste schon immer: man hat Vorteile, wenn man Mathematiker ist.

Vielen Dank!

Lieben Gruß, Martin

Bezug
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