Normaler Abschluss einer Grupp < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Definition: Sei R eine Teilmenge einer Gruppe F. Der normale Abschluss der Menge R in der Gruppe F ist die kleinste normale Untergruppe von F, die R enthält. Der normale Abschluss sei mit [mm] R^{F} [/mm] bezeichnet.
Wenn R nichtleer ist, dann sieht [mm] R^{F} [/mm] offensichtlich so aus:
[mm] R^{F} [/mm] = { [mm] \produkt_{i=1}^{k} f_{i}^{-1}r_{i}^{\varepsilon}f_{i}|f_{i} \in [/mm] F, [mm] r_{i} \in [/mm] R, [mm] \varepsilon_{i} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1, k [mm] \ge [/mm] 0 }. |
Okay, meine Frage ist folgende: Mir ist noch nicht ganz klar, wieso [mm] R^{F} [/mm] dann so aussieht. Es ist eine Untergruppe, also müssen Produkte und Inverse drin sein. Und weils eine normale Untergruppe ist, steht dort die Konjugation oder wie?
Weil da "offensichtlich" steht, ist meine Frage sicherlich etwas "blöd", aber irgendwie sind mir wohl die Zusammenhänge noch nicht so klar....
Kann mir da jemand helfen?
Lg, Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:46 Fr 15.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Okay, meine Frage ist folgende: Mir ist noch nicht ganz
> klar, wieso [mm]R^{F}[/mm] dann so aussieht. Es ist eine
> Untergruppe, also müssen Produkte und Inverse drin sein.
> Und weils eine normale Untergruppe ist, steht dort die
> Konjugation oder wie?
So in etwa. Dein [m]R^F[/m] ist ein Normalteiler, dh alle Ausdrücke der Form [m]f*r*f^{-1}[/m] müssen drin sein, mit r muss auch [m]r^{-1}[/m] drin sein, und da Untergruppe auch alle endlichen Produkte mit Faktoren [m]f*r^{\pm 1}*f^{-1}[/m]. Also ist obige Menge sicher in [m]R^F[/m] enthalten. Nun müsste man eigtl. noch zeigen, dass diese Menge eine normale Untergruppe ist - mach das mal als Übung. Damit hast du dann Gleichheit gezeigt.
> Weil da "offensichtlich" steht, ist meine Frage sicherlich
> etwas "blöd", aber irgendwie sind mir wohl die
> Zusammenhänge noch nicht so klar....
Ach, offensichtlich kommt offenbar zu oft in der Mathematik vor.
SEcki
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Hmm.. Aber wenn ich nach Definition weiß, dass [mm] R^{F} [/mm] kleinste normale Untergruppe von F ist, die R enthält, was muss ich dann noch machen?
Ich meine, wenn nun klar ist, dass die Menge auf der rechten Seite komplett in [mm] R^{F} [/mm] enthalten sein muss, damit die Definition sozusagen erfüllt ist, bin ich dann nicht fertig? Weil weniger geht ja nicht und mehr auch nicht, weil Minimaleigenschaft ja bereits erfüllt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Fr 15.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich meine, wenn nun klar ist, dass die Menge auf der
> rechten Seite komplett in [mm]R^{F}[/mm] enthalten sein muss, damit
> die Definition sozusagen erfüllt ist, bin ich dann nicht
> fertig?
Und wer sagt, dass nicht noch Elemente in der Menge sind, die sich nicht so darstellen lassen?
> Weil weniger geht ja nicht und mehr auch nicht,
> weil Minimaleigenschaft ja bereits erfüllt?
Woher weißt du das mit mehr? Dazu müsste eben die Menge eine normale Untergruppe sein. Wenn ich einfach sage: es ist ein Normalteiler, also muss die Menge [m]\{f*r*f-1}|r\in R, f\in F\}[/m] enthalten sein, dann stimmt das. Aber es fehlen ja noch Elemente. Man muss sicher stellen, dass es keine weiteren Elemente mehr gibt.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 Fr 15.05.2009 | | Autor: | BieneJulia |
Aber dadurch, dass die Produkte durch das Produktzeichen und die Inversen durch das Epsilon mit in der Menge enthalten sind, erfüllt sie doch gerade die Eigenschaften einer Untergruppe (Abgeschlossenheit bezüglich Inversenbildung und Multiplikation), oder nicht? Hmm.. Ansonsten denk ich nochmal drüber nach!
Danke schön schonmal!
Lg, Julia
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich wollte mal gucken, ob das mit dem Nachweis der normalen Untergruppe klappt. Vielleicht kann jemand nochmal drüber gucken und mir sonst sagen, was ich falsch mache?
Also: Die Menge auf der rechten Seite nenne ich jetzt einfach mal U, weil ja ich noch zeigen will, dass sie wirklich gleich [mm] R^{F} [/mm] ist. Ich muss jetzt also zweigen, dass U eine normale Untergruppe von F ist.
Dazu zeige ich erst die Untergruppeneigenschaften:
1) Mit zwei Elementen r und s aus U ist auch rs in U, schon durch die Mengenbeschreibung mit dem Produktzeichen (ist das zu einfach?).
2) Mit jedem r aus U ist auch das Inverse [mm] r^{-1} [/mm] in U, ebenfalls durch das Epsilon klar.
Daraus folgt schon, dass U eine Untergruppe von F ist. Zu zeigen bleibt noch, dass U ein Normalteiler von F ist. Dazu muss [mm] fUf^{-1} [/mm] = U für alle f aus F gezeigt werden, U bleibt also unter allen Konjugationen invariant.
Dies ist ebenfalls klar aus der "Gruppenbeschreibung" ersichtlich,oder? Ich kann das aber nicht so deutlich erklären und vermute, dass ich das vielleicht sogar "falsch" verstehe. Ich nehme ein beliebiges Element aus der Menge , z.B. r und konguiere es mit f und dies ist dann wieder in U, was man ja sofort sieht...
Hmm.. ich weiß nicht... Da muss man sicher "weniger schwammig" formulieren, richtig? Kann mir da jemand nochmal unter die Arme greifen?!
Lg und Danke,
FlowerJulia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 13.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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