Normalform, Abstände < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Die Punkte P1 (1,0,-1) P2 (2,-1,-3) und P3 (1,1,2) bestimmen eine Ebene E1, die Gleichung 2x -y+z = 4 eine Ebene E2.
a.) Ermittle eine Normalgleichung für die Ebene E1
b.) Untersuche die Gegenseitige Lage von E1 u. E2 berechne entweder den Abstand oder die Schnittgerade und die Größe des Schnittwinkels. |
Hallo,
habe da ein Problem, vorallem bei b.)
Also erstmal zu a.)
E1 = [mm] x_0 [/mm] + t [mm] \vec{a} [/mm] + s [mm] \vec{b}
[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = x1 - x0
[mm] \vec{b} [/mm] = x2 - x0
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -2}
[/mm]
[mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
E1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] +t* [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -2} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Normalgleichung :
[mm] \vec{x}\* \vec{n} [/mm] = [mm] \vec{x0} \* \vec{n}
[/mm]
[mm] \vec{n} [/mm] = a [mm] \times [/mm] b
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -3 \\ 1}
[/mm]
und
[mm] \vec{x0} \* \vec{n} [/mm] = -2
Also lautet die Normalengleichung der Ebene :
-1x -3y +z = -2
Gut,
das war a.
Jetzt zu b.)
Theoretisch könnte ich das Berechnen, allerdings weiß ich nicht wie ich 2x -y+z = 4 in die Ebenengleichung mache wie hier bei E1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] +t* [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -2} [/mm] + [mm] s*\vektor{0 \\ 1 \\ 3} [/mm]
Wäre super wenn mir da jemand helfen könnte.
Schreib Montag Vorabi und muss irgendwie mal wieder ein wenig Punkten.
MfG
Kristof
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
> Also lautet die Normalengleichung der Ebene :
> -1x -3y +z = -2
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt zu b.)
>
> Theoretisch könnte ich das Berechnen, allerdings weiß ich
> nicht wie ich 2x -y+z = 4 in die Ebenengleichung mache wie
> hier bei E1 = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] +t* [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -2}[/mm] + [mm]s*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}[/mm]
Brauchst du doch nicht. Betrachte zunächst die beiden normalenvektoren der beiden Ebenen. Sind diese kollinear? Dann wären die Ebenen parallel oder identisch.
Anderenfalls gibt es eine Schnittgerade. Diese erhältst Du, indem Du die Parameterform der einen Ebene in die Normalenform der anderen Ebene einsetzt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof!
>
>
> > Also lautet die Normalengleichung der Ebene :
> > -1x -3y +z = -2
>
>
Puh, das freut mich ;)
>
> > Jetzt zu b.)
> >
> > Theoretisch könnte ich das Berechnen, allerdings weiß ich
> > nicht wie ich 2x -y+z = 4 in die Ebenengleichung mache wie
> > hier bei E1 = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] +t* [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -2}[/mm]
> + [mm]s*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}[/mm]
>
> Brauchst du doch nicht. Betrachte zunächst die beiden
> normalenvektoren der beiden Ebenen. Sind diese kollinear?
> Dann wären die Ebenen parallel oder identisch.
>
> Anderenfalls gibt es eine Schnittgerade. Diese erhältst Du,
> indem Du die Parameterform der einen Ebene in die
> Normalenform der anderen Ebene einsetzt.
>
Ob die beiden Normalvektoren Kollinear sind, gucke ich indem ich beide mit dem Kreuzprodukt Multipliziere richtig?
Also :
[mm] \vektor{-1 \\ -3 \\ 1 } \times \vektor{2 \\ -1 \\ 1 }
[/mm]
= [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 7 }
[/mm]
Da dies nicht 0 ist, sind die Ebenen nicht kollinear.
Sollte jetzt also die Schnittgerade ermitteln :
Zuerst, eine Koordinate frei Wählen.
a3 = 1
I [mm] -a_1 -3a_2 [/mm] =1 *2
II [mm] 2a_1 [/mm] - [mm] 1a_2 [/mm] = 1
[mm] \gdw a_2 [/mm] = - [mm] \bruch{3}{7}
[/mm]
[mm] a_2 [/mm] setze ich nun in II ein, was ergibt :
[mm] a_1 [/mm] = [mm] \bruch{2}{7}
[/mm]
Nun habe ich also den Richtungsvektor der Schnittgerade ermittelt.
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{2 /7\\ -3/7 \\ 1 }
[/mm]
Punkt der Gerade, dafür Wähle ich x,y oder z = 0
In diesem Fall habe ich x = 0 gewählt.
I -3y +z = -2
II -y +1z = 4
[mm] \gdw [/mm] y = 3
y setze ich nun in II ein :
z = 7
Nun habe ich auch den Punkt der Geraden.
Die Schnittgerade sieht also wiefolgt aus :
g: [mm] \vektor{0\\ 3 \\ 7 } [/mm] + t [mm] \vektor{2 /7\\ -3/7 \\ 1 }
[/mm]
Hoffe mal das das richtig ist,
wobei ich mir da mehr als unsicher bin.
Hoffe nur das Verfahren ist richtig, kleine Rechenfehler sind zwar blöd, aber können passieren.
Mir ist vorallem wichtig, dass ich das vom Prinzip richtig gemacht habe.
Nun noch den Schnittwinkel der Ebenen errechnen :
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \vmat{ \bruch{\vec{n1}\*\vec{n2}}{|\vec{n1}| * |\vec{n2}|} }
[/mm]
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] bruch{2}{\wurzel{11}*\wurzel{6}}
[/mm]
= 0,246182982
cos^-1 (0,246182982) = 75,75°
Der Winkel müsste also 75,75° sein.
Hoffe das ist so richtig,
kleine Fehler bitte verzeihen, bin seit heute morgen um 8 am Rechnen, und langsam merk ich das ich häufiger mal kleine, dumme Fehler mache.
Hoffentlich keine Großen?!
MfG
Kristof
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Fr 30.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Kristof,
> > > Also lautet die Normalengleichung der Ebene :
> > > -1x -3y +z = -2
> > > Theoretisch könnte ich das Berechnen, allerdings weiß ich
> > > nicht wie ich 2x -y+z = 4 in die Ebenengleichung mache wie
> > > hier bei E1 = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1}[/mm] +t* [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -2}[/mm]
> > + [mm]s*\vektor{0 \\ 1 \\ 3}[/mm]
> >
> > Brauchst du doch nicht. Betrachte zunächst die beiden
> > normalenvektoren der beiden Ebenen. Sind diese kollinear?
> > Dann wären die Ebenen parallel oder identisch.
> >
> > Anderenfalls gibt es eine Schnittgerade. Diese erhältst Du,
> > indem Du die Parameterform der einen Ebene in die
> > Normalenform der anderen Ebene einsetzt.
> >
>
> Ob die beiden Normalvektoren Kollinear sind, gucke ich
> indem ich beide mit dem Kreuzprodukt Multipliziere richtig?
hmm.... also das ist zwar nicht falsch, aber du schießt doch auch nicht mit Kanonen auf Spatzen, oder?
> Also :
>
> [mm]\vektor{-1 \\ -3 \\ 1 } \times \vektor{2 \\ -1 \\ 1 }[/mm]
> =
> [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ 7 }[/mm]
>
> Da dies nicht 0 ist, sind die Ebenen nicht kollinear.
schon wahr, aber hätte man das nicht auch auf den ersten Blick sehen können?
> Sollte jetzt also die Schnittgerade ermitteln :
>
> Zuerst, eine Koordinate frei Wählen.
> a3 = 1
>
> I [mm]-a_1 -3a_2[/mm] =1 *2
> II [mm]2a_1[/mm] - [mm]1a_2[/mm] = 1
>
> [mm]\gdw a_2[/mm] = - [mm]\bruch{3}{7}[/mm]
>
> [mm]a_2[/mm] setze ich nun in II ein, was ergibt :
>
> [mm]a_1[/mm] = [mm]\bruch{2}{7}[/mm]
>
> Nun habe ich also den Richtungsvektor der Schnittgerade
> ermittelt.
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{2 /7\\ -3/7 \\ 1 }[/mm]
auch richtig, aber nachdem du schon oben das Vektorprodukt ermittelt hast, hättest du auch gleich das nehmen können!
Vergleich doch bitte mal diesen Vektor mit dem oben aus dem Vektorprodukt.
> Punkt der Gerade, dafür Wähle ich x,y oder z = 0
> In diesem Fall habe ich x = 0 gewählt.
>
> I -3y +z = -2
> II -y +1z = 4
>
> [mm]\gdw[/mm] y = 3
>
> y setze ich nun in II ein :
> z = 7
>
> Nun habe ich auch den Punkt der Geraden.
> Die Schnittgerade sieht also wiefolgt aus :
>
> g: [mm]\vektor{0\\ 3 \\ 7 }[/mm] + t [mm]\vektor{2 /7\\ -3/7 \\ 1 }[/mm]
>
> Hoffe mal das das richtig ist,
> wobei ich mir da mehr als unsicher bin.
> Hoffe nur das Verfahren ist richtig, kleine Rechenfehler
> sind zwar blöd, aber können passieren.
> Mir ist vorallem wichtig, dass ich das vom Prinzip richtig
> gemacht habe.
>
> Nun noch den Schnittwinkel der Ebenen errechnen :
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]\vmat{ \bruch{\vec{n1}\*\vec{n2}}{|\vec{n1}| * |\vec{n2}|} }[/mm]
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = [mm]bruch{2}{\wurzel{11}*\wurzel{6}}[/mm]
> = 0,246182982
>
> cos^-1 (0,246182982) = 75,75°
>
> Der Winkel müsste also 75,75° sein.
>
> Hoffe das ist so richtig,
richtig ist das schon, aber ich habe die Schnittgeradenberechnung noch nie in meinem Leben so umständlich gesehen 
Du wärst besser Loddars Rat gefolgt und hättest die Parameterform einfach koordinatenweise in die Koordinatenform der 2. Ebene eingesetzt. Es gibt übrigens auch eine einfache Möglichkeit, aus den beiden Koordiantenformen direkt die Schnittgerade zu ermitteln.
LG
Will
|
|
|
|
