Normalform orthogonaler Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Fr 24.06.2016 | | Autor: | astol |
| Aufgabe | Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }\in M(3\times [/mm] 3, [mm] \IR)
[/mm]
Zeigen Sie, dass A orthogonal ist und bringen Sie A in die Normalform orthogonaler Matrizen, d.h. bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] von der Form
[mm] \pmat{
R(\phi_1)&&&&&&&& \\
&...&&&&&&&\\
&&R(\phi_n)&&&&&&\\
&&&1&&&&&\\
&&&&...&&&&\\
&&&&&1&&&\\
&&&&&&-1&&\\
&&&&&&&...&\\
&&&&&&&&-1} [/mm] mit [mm] R(\phi_i)\pmat{ cos\phi_i & -sin\phi_i \\ sin\phi_i & cos\phi_i } [/mm] für i=1,...,n ist |
Guten Morgen zusammen, viellicht könnt Ihr mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Danke schon mal im Voraus!
Was ich bis jetzt gezeigt habe:
A ist orthogonal, dann gilt: [mm] A^T=A^{-1} [/mm] also insb. [mm] A^T*A=E
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0}*\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist orthogonal
Um die Matrix S zu bestimmen, benötige ich Eigenwerte bzw. Eigenvektoren, denn die Spalten von S sind die Eigenvektoren der reellen Eigenwerte von A, sowie Real- und Imaginärteil von komplexen Eigenvektoren der komplexen Eigenwerte von A.
Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms habe ich die Eigenwerte berechnet:
[mm] P_A(t)=det(A-t*E)=det\pmat{ -t & 0 & 1 \\ 1 & -t & 0 \\ 0 & 1 & -t}=(-t)^3+1
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=1 [/mm] ist Eigenwert zu A.
Für den zugehörigen Eigenvektor, v gilt dann: [mm] (A-\lambda*E)*v=0, [/mm] mit [mm] v\not=0:
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1}*\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow v=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Somit habe ich nur einen Eigenvektor, aber wie soll ich damit die Matrix S aufstellen, denn [mm] S\in M(3\times [/mm] 3)?
Habe mir mit WolframAlpha [mm] P_a(t)=(-t)^3+1=0 [/mm] berechnen lassen und er liefert mir neben t=1 (s.o.) auch noch [mm] t=-\wurzel[3]{-1} [/mm] und [mm] t=(-1)^{\bruch{2}{3}} [/mm] als komplexe Lösungen. Muss ich damit weitere Eigenvektoren bestimmen? Falls ja, wie kann ich das mit den komplexen Zahlen machen? Bin für jeden Tipp dankbar.
LG astol
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Fr 24.06.2016 | | Autor: | astol |
Ups, ich hab mich verrechnet, kleine Vorzeichenfehler beim Eigenvektor 
[mm] v=\vektor{1\\1\\1\\}. [/mm] Aber das Problem mit den komplexen Eigenwerten bleibt bestehen :-(
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