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| Aufgabe | | Beweisen Sie: Sei [mm] \phi: [/mm] G [mm] \to [/mm] H ein surjektiver Homomorphismus von Gruppen und N [mm] \subset [/mm] G ein Normalteiler. Dann ist auch [mm] \phi [/mm] (N) ein Normalteiler. |
Hallo!
Im Prinzip habe ich zu der Aufgabe schon eine Lösung aus der Übung zur Vorlesung, aber daran sind mir ein paar Sachen nicht klar.
Wir wollen zeigen, dass [mm] h\phi(N) h^{-1} \subset \phi(N) \forall [/mm] h [mm] \in [/mm] H
Bew.:
Dazu sei [mm] \phi(g)=h, \phi(n)=n' [/mm] für geeignetes n [mm] \in [/mm] N, g [mm] \in [/mm] G (wg. Surjektivität)
da N Normalteiler gilt: [mm] gng^{-1} \in [/mm] N
also: [mm] hn'h^{-1}= \phi(g) \phi(n) \phi(g^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(gng^{-1}) [/mm] (<--wg. GHM) [mm] \in \phi(N)
[/mm]
da außerdem [mm] \phi(N) [/mm] Gruppe ist, folgt: [mm] \phi(N) [/mm] Normalteiler
1. Zeile --> ich habe das folgender Maßen interpretiert:
da [mm] \phi [/mm] surjektiv ist, wird jedes h in H mindestens einmal getroffen (Def.), das heißt es muss ein g in G geben, sd. [mm] \phi(g)=h [/mm] , also kann man OBdA festsetzen: [mm] \phi(g)=h [/mm] für g in G und h in H
gleiches gilt für [mm] \phi(n)
[/mm]
müsste man jedoch nicht noch dazu schreiben, dass n' und h in H sind?
2. Zeile: dies ist die Def. von Normalteiler, klar.
3. Zeile: die Festsetzungen der 1. Zeile, die Voraussetzung, dass [mm] \phi [/mm] ein GHM ist und dass N Normalteiler ist werden benutzt um zu zeigen, dass [mm] hn'h^{-1} \in \phi(N)
[/mm]
4. Zeile: woher wissen wir, dass [mm] \phi(N) [/mm] eine Gruppe ist? Muss ich das nochmal zeigen? Aber man hat ja gar keine Verknüpfung etc. gegeben, also muss man das doch daraus folgern, dass N Normalteiler, oder so... ?
Kann mir hier jemand helfen? Das wäre super!
Grüßle, Lily
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Moin,
> Beweisen Sie: Sei [mm]\phi:[/mm] G [mm]\to[/mm] H ein surjektiver
> Homomorphismus von Gruppen und N [mm]\subset[/mm] G ein
> Normalteiler. Dann ist auch [mm]\phi[/mm] (N) ein Normalteiler.
> Hallo!
> Im Prinzip habe ich zu der Aufgabe schon eine Lösung aus
> der Übung zur Vorlesung, aber daran sind mir ein paar
> Sachen nicht klar.
>
> Wir wollen zeigen, dass [mm]h\phi(N) h^{-1} \subset \phi(N) \forall[/mm]
> h [mm]\in[/mm] H
> Bew.:
> Dazu sei [mm]\phi(g)=h, \phi(n)=n'[/mm] für geeignetes n [mm]\in[/mm] N, g
> [mm]\in[/mm] G (wg. Surjektivität)
> da N Normalteiler gilt: [mm]gng^{-1} \in[/mm] N
> also: [mm]hn'h^{-1}= \phi(g) \phi(n) \phi(g^{-1})[/mm] =
> [mm]\phi(gng^{-1})[/mm] (<--wg. GHM) [mm]\in \phi(N)[/mm]
> da außerdem
> [mm]\phi(N)[/mm] Gruppe ist, folgt: [mm]\phi(N)[/mm] Normalteiler
>
> 1. Zeile --> ich habe das folgender Maßen interpretiert:
> da [mm]\phi[/mm] surjektiv ist, wird jedes h in H mindestens einmal
> getroffen (Def.),
Ganz genau!
> das heißt es muss ein g in G geben, sd.
> [mm]\phi(g)=h[/mm] , also kann man OBdA festsetzen: [mm]\phi(g)=h[/mm] für g
> in G und h in H
> gleiches gilt für [mm]\phi(n)[/mm]
Hier musst du aufpassen. Du wählst ein $n'$ passend für ein gegebenes [mm] $n\in [/mm] N$ und nicht umgekehrt.
> müsste man jedoch nicht noch dazu schreiben, dass n' und
> h in H sind?
Da [mm] $\phi$ [/mm] eine Abbildung nach H ist, können die Bilder nur in H liegen. Besser ist es schon das auch noch hinzuschreiben.
Noch einmal: Du gibst dir ein [mm] $h\in [/mm] H$ und [mm] $n\in [/mm] N$ vor und nicht [mm] $h,n'\in [/mm] H$.
>
> 2. Zeile: dies ist die Def. von Normalteiler, klar.
>
> 3. Zeile: die Festsetzungen der 1. Zeile, die
> Voraussetzung, dass [mm]\phi[/mm] ein GHM ist und dass N
> Normalteiler ist werden benutzt um zu zeigen, dass
> [mm]hn'h^{-1} \in \phi(N)[/mm]
Genau.
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> 4. Zeile: woher wissen wir, dass [mm]\phi(N)[/mm] eine Gruppe ist?
> Muss ich das nochmal zeigen? Aber man hat ja gar keine
> Verknüpfung etc. gegeben, also muss man das doch daraus
> folgern, dass N Normalteiler, oder so... ?
Die Aussage: "Ist [mm] $\phi$ [/mm] ein HM und $H$ eine Gruppe, so ist [mm] $\phi(H)$ [/mm] eine Gruppe." muss natürlich gezeigt werden, sofern ihr es noch nicht hattet.
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> Kann mir hier jemand helfen? Das wäre super!
> Grüßle, Lily
Der Beweis an sich ist klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Di 11.03.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Hallo!
> Der Beweis an sich ist klar?
Ja, danke!! Jetzt ist alles klar!
Grüßle, Lily
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