Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Fr 27.03.2009 | | Autor: | physicus |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen!
Ich habe ein Problem bei Normalteilern:
Laut Definition ist jeder Normalteiler N einer Gruppe der Kern eines Gruppenhomomorphismus [mm] \pi. [/mm] Das bedeutet, dass das Bild von N unter [mm] \pi [/mm] das neutrale Element e ergeben sollte. Allerdings verstehe ich das nicht ganz. Pi macht ja folgendes:
[mm] \pi: [/mm] G [mm] \to [/mm] G/N
g [mm] \mapsto [/mm] g [mm] \cdot [/mm] N
Unter dem Bild von N vesteht man ja:
[mm] \pi(N) [/mm] = N [mm] \cdot [/mm] N also geht [mm] \pi [/mm] von N nach N/N, aber was ist N/N? und ich meine irgendein Element aus N multipliziert mit einem anderem ergibt ja nicht zwangsläufig e.
Viellicht kann mir das jemand an [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] erklären! Hier wäre ja G = [mm] \IZ [/mm] und N = / 3 [mm] \IZ
[/mm]
Danke jedenfalls!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Fr 27.03.2009 | | Autor: | Rino |
Hallo!
Für das Bild von $N$ unter [mm] $\pi$ [/mm] gilt:
[mm] $\pi(N):=\lbrace \pi(n)\vert n\in N\rbrace [/mm] $
Nach Definition von [mm] $\pi$ [/mm] gilt jetzt: [mm] $\pi(n)=n\circ [/mm] N$ und da [mm] $n\in [/mm] N$: [mm] $\pi(n)=n\circ N=N=1_{G/N}$. [/mm] Somit passt schonmal die eine Richtung [mm] ($N\subseteq ker\pi$).
[/mm]
Andersrum gilt für jedes [mm] $m\in ker\pi$: $\pi(m)=1_{G/N}=N$ [/mm] sowie nach Definition von [mm] $\pi$: $\pi(m)=m\circ [/mm] N$, das heißt es gilt: [mm] $m\circ [/mm] N = N$ und somit [mm] $m\in [/mm] N$. Also gilt auch die zweite Richtung und somit insgesamt
[mm] $N=ker\pi$.
[/mm]
Gruß, Rino
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Fr 27.03.2009 | | Autor: | physicus |
hi rino
danke für deine schnelle Antwort! Ich blicke aber noch nicht ganz durch bei folgenden zwei Gleichungen:
wieso ist n [mm] \cirle [/mm] N = N ? und
wieso schliesst man dann von N = [mm] 1_{G\N}
[/mm]
Ich meine wenn N [mm] =\IZ [/mm] / [mm] \IZ [/mm] 3 ist, wäre ja [mm] N=\{0,1,2\} [/mm]
cheers
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Hallo physicus,
> hi rino
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> danke für deine schnelle Antwort! Ich blicke aber noch
> nicht ganz durch bei folgenden zwei Gleichungen:
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> wieso ist n [mm]\circ[/mm] N = N ?
Na, $N$ ist doch eine Untergruppe von $G$, also insbesondere abgeschlossen: [mm] $n\circ [/mm] N=N$, da für alle [mm] $n'\in [/mm] N$ gilt: [mm] $n\circ n'=\tilde n\in [/mm] N$
> und wieso schliesst man dann von N = [mm]1_{G\N}[/mm]
Na, weil N nach dem oben Gezeigten gerade das neutrale Element in der Faktorgruppe $G/N$ ist
>
> Ich meine wenn [mm] $N=\IZ/\IZ3$ [/mm] ist, wäre ja [mm]N=\{0,1,2\}[/mm]
Da bringst du was durcheinander, fürchte ich, du meinst sicher, dass du die Gruppe [mm] $G=\IZ$ [/mm] und die Untergruppe [mm] $H=N=3\IZ$, [/mm] die Normalteiler in [mm] $\IZ$ [/mm] ist, gegeben hast.
Dann ist die Faktorgruppe [mm] $G/H=\IZ/3\IZ=\{z+3\IZ\mid z\in\IZ\}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\}$.
[/mm]
Das neutrale Element dieser Faktorgruppe ist genau der Normalteiler, also [mm] $3\IZ$ [/mm] (die Restklasse der Null)
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> cheers
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Gruß
schachuzipus
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