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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:23 Fr 17.04.2009 | | Autor: | clwoe |
| Aufgabe | Sei G eine Gruppe mit einem Normalteiler N der genauso wie G/N isomorph zur kleinschen Vierergruppe [mm] (\IZ/2\IZ)^{2} [/mm] ist.
Zeigen sie das [mm] g^{4}=e \forall [/mm] g [mm] \in [/mm] G gilt.
Sei A eine abelsche Gruppe.
Die Gruppe hat 1 Element der Ordnung 1. 7 Elemente der Ordnung 2 und 24 Elemente der Ordnung 4 und kein weiteres Element einer anderen Ordnung.
Bestimmen Sie die Gruppe A. |
Hallo,
das waren zwei Aufgaben einer Klausur, die ich geschrieben habe. Wie soll ich an diese Aufgaben rangehen? Bei der ersten habe ich gar keine Ahnung.
Bei der zweiten ist es doch so, das die Gruppe A 32 Elemente hat. Jede endliche Gruppe ist nach dem Hauptsatz über endliche abelsche Gruppen isomorph zu einem direkten Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Also kann ich die Gruppe A mit 32 Elementen zerlegen in [mm] \IZ_{p} [/mm] Gruppen.
Wirklich weiter bin ich aber nicht gekommen.
Wäre echt super wenn mir jemand sagen könnte wie man diese Aufgaben löst. Ich würde nur mal gerne wissen was ich hätte machen sollen.
Danke!
clwoe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:50 Fr 17.04.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo,
Ich habe mir was überlegt für Aufgabe 1. Wegen $|G/N|= |N|=4$ folgt [mm] $|G|=16=2^4$. [/mm] Also ist die Ordnung eines jeden Elementes eine Potenz von zwei, und wir müssen nur noch zeigen, dass es keine Elemente der Ordnung 16 oder 8 gibt.
Gäbe es ein [mm] $g\in [/mm] G$ mit Ordnung 16, so wäre [mm] $G\cong\IZ/16\IZ$ [/mm] zyklisch, also auch die Untergruppe N, was nicht sein kann.
Gäbe es ein [mm] $g\in [/mm] G$ mit Ordnung 8, so... (denk dir was aus  )
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Fr 17.04.2009 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
erstmal danke für die schnelle Antwort, aber warum gilt das:
Wegen $ |G/N|= |N|=4 $ folgt $ [mm] |G|=16=2^4 [/mm] $
das verstehe ich nicht ganz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Fr 17.04.2009 | | Autor: | statler |
> Hallo,
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> erstmal danke für die schnelle Antwort, aber warum gilt
> das:
>
> Wegen [mm]|G/N|= |N|=4[/mm] folgt [mm]|G|=16=2^4[/mm]
>
> das verstehe ich nicht ganz.
>
>
Es gibt 4 disjunkte Nebenklassen mit je 4 Elementen.
Gruß
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Fr 17.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo zusammen
> Ich habe mir was überlegt für Aufgabe 1. Wegen [mm]|G/N|= |N|=4[/mm]
> folgt [mm]|G|=16=2^4[/mm]. Also ist die Ordnung eines jeden
> Elementes eine Potenz von zwei, und wir müssen nur noch
> zeigen, dass es keine Elemente der Ordnung 16 oder 8 gibt.
>
> Gäbe es ein [mm]g\in G[/mm] mit Ordnung 16, so wäre [mm]G\cong\IZ/16\IZ[/mm]
> zyklisch, also auch die Untergruppe N, was nicht sein
> kann.
> Gäbe es ein [mm]g\in G[/mm] mit Ordnung 8, so... (denk dir was aus
> )
Es geht auch direkter:
da $G/N [mm] \cong V_4$ [/mm] folgt $(g [mm] N)^2 [/mm] = N$ fuer jedes $g [mm] \in [/mm] G$, also [mm] $g^2 \in [/mm] N$.
Da nun $N [mm] \cong V_4$ [/mm] ist folgt [mm] $(g^2)^2 [/mm] = e$, also [mm] $g^4 [/mm] = e$.
Benutzt wird hier nur, dass in [mm] $V_4$ [/mm] alle Elemente Ordnung $2$ oder $1$ haben.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Fr 17.04.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> Sei A eine abelsche Gruppe.
> Die Gruppe hat 1 Element der Ordnung 1. 7 Elemente der
> Ordnung 2 und 24 Elemente der Ordnung 4 und kein weiteres
> Element einer anderen Ordnung.
> Bestimmen Sie die Gruppe A.
> Bei der zweiten ist es doch so, das die Gruppe A 32
> Elemente hat. Jede endliche Gruppe ist nach dem Hauptsatz
> über endliche abelsche Gruppen isomorph zu einem direkten
> Produkt zyklischer Gruppen von Primzahlpotenzordnung. Also
> kann ich die Gruppe A mit 32 Elementen zerlegen in [mm]\IZ_{p}[/mm]
> Gruppen.
Wenn du den Hauptsatz kennst, bist du doch fast fertig. Schreib alle Möglichkeiten hin, so viele sind es nicht. Z/32 kann es nicht sein, da es kein Element der Ordnung 32 gibt. Z/16 x Z/2 kann es auch nicht sein, da es kein El. der Ordnung 16 gibt. Z/8 darf ebenso nicht vorkommen. [mm] (Z/2)^5 [/mm] kann es auch nicht sein, da gibt als höchste Ordnung 2. Jetzt bleibt nicht mehr viel!
Gruß
Dieter
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> Wirklich weiter bin ich aber nicht gekommen.
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> Wäre echt super wenn mir jemand sagen könnte wie man diese
> Aufgaben löst. Ich würde nur mal gerne wissen was ich hätte
> machen sollen.
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> Danke!
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> clwoe
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