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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Mo 08.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Sei U eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G. Beweisen Sie: Falls es keine weitere Untergruppe von G gibt, die genauso viele Elemente wie U hat, so ist U Normalteiler von G |
Hallo,
Hab einige Probleme hierbei auf nen richtigen Ansatz zu kommen. Ich meine für Gruppen G von Primzahlordnung oder Ordnung 1 ist nach dem Satz von Lagrange klar, dass jedes U ein Normalteiler ist. Des weiteren konnte ich bereits zeigen, dass wenn |U|= [mm] \bruch{|G|}{2} [/mm] ist, dann ist U Normalteiler, weiß jedoch nich, ob mir das für diese Aufgabe weiterhilft? Hätte jemand bitte einen Tipp für mich, wär für jede Hilfe dankbar,
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mo 08.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei U eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G. Beweisen
> Sie: Falls es keine weitere Untergruppe von G gibt, die
> genauso viele Elemente wie U hat, so ist U Normalteiler von
> G
>
> Hallo,
> Hab einige Probleme hierbei auf nen richtigen Ansatz zu
> kommen. Ich meine für Gruppen G von Primzahlordnung oder
> Ordnung 1 ist nach dem Satz von Lagrange klar, dass jedes U
> ein Normalteiler ist. Des weiteren konnte ich bereits
> zeigen, dass wenn |U|= [mm]\bruch{|G|}{2}[/mm] ist, dann ist U
> Normalteiler, weiß jedoch nich, ob mir das für diese
> Aufgabe weiterhilft?
Das hilft dir alles nicht weiter.
Beachte: Ist $U$ eine Untergruppe und $g [mm] \in [/mm] G$, so ist [mm] $g^{-1} [/mm] U g$ ebenfalls eine Untergruppe mit genausovielen Elementen wie $U$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Di 09.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen Dank schonmal,
Ich hab nun folgendes gemacht:
Beweis: Es genügt zu zeigen, dass wenn U kein Normalteiler ist, so gibt es mindestens eine weitere Untergruppe von G, die genauso viele Elemente wie U hat.
Sei U Untergruppe von G und kein Normalteiler, dann gilt:
gU [mm] \not= [/mm] Ug für alle g [mm] \in [/mm] G [mm] |*g^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow gUg^{-1} \not= Ugg^{-1} [/mm] = U
Nun hab ich gezeigt mit den Untergruppenkriterien, dass [mm] gUg^{-1} [/mm] eine weitere Untergruppe [mm] U_{2} [/mm] von G ist. Das einzige, was mir nun noch fehlt ist, wie ich zeigen kann, [mm] gUg^{-1} [/mm] so viele Elemente wie U hat, da komm ich irgendwie überhaupt nich weiter, könnt mir da bitte noch jemand einen Tipp zu geben?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 09.06.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> einzige, was mir nun noch fehlt ist, wie ich zeigen kann,
> [mm]gUg^{-1}[/mm] so viele Elemente wie U hat, da komm ich irgendwie
> überhaupt nich weiter, könnt mir da bitte noch jemand einen
> Tipp zu geben?
Naja, die Abb. $u [mm] \mapsto gug^{-1}$ [/mm] ist bijektiv. Du kannst (hoffentlich) ganz leicht die Umkehrabb. angeben.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 09.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke, die Umkehrabbildung sollte dann wohl u [mm] \mapsto g^{-1}ug [/mm] sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Di 09.06.2009 | | Autor: | statler |
> Danke, die Umkehrabbildung sollte dann wohl u [mm]\mapsto g^{-1}ug[/mm]
> sein?
Ja, nich 
Für eine perfekte Lösung müßtest du dir jetzt noch den begründenden Text zusammenreimen, der reicht je nach Wissensstand von 'trivial' bis sonstwohin ...
Ciao
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Di 09.06.2009 | | Autor: | ms2008de |
Dann zeig ich eben gleich, dass die beiden Untergruppen zueinander isomorph sind, indem ich zeig, dass es einen Morphismus gibt und dieser injektiv und surjektiv ist
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:02 So 12.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
ich bin gerade dabei, dieselbe Aufgabe zu bearbeiten und möchte nun mit den Untergruppenkriterien überprüfen, ob U2=gUg-1 eine Untergruppe von G ist. Das neutrale Element von G liegt in U und damit auch in U2. Doch wie zeige ich Abgeschlossenheit und dass das Inverse in U2 liegt?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 So 12.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Ich habe mein Problem gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:36 So 12.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Dank der guten Erklärungen habe ich es jetzt verstanden.
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