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| Aufgabe | G Gruppe, N Normalteiler, H Untergruppe von G. Zeigen Sie:
(a) [mm] HN:=\{ hn|h\in H, n\in N \} [/mm] ist eine Untergruppe von G.
(b) N ist Normalteiler in HN und $ H [mm] \cap [/mm] N $ ist Normalteiler in H.
(c) Es gilt $ H/(h [mm] \cap [/mm] N) [mm] \cong [/mm] HN/N $. |
Hi Leute,
also bei der (a) hab ich ganz normal das Untergruppenkriterium angewandt:
Seien [mm] h_{1}n_{1}, h_{2}n_{2} \in [/mm] HN
[mm] \Rightarrow h_{1}n_{1}*h_{2}n_{2} [/mm] = [mm] n_{3}*n_{2} \in [/mm] HN mit [mm] h_{1}*n_{1}*h_{2} [/mm] := [mm] n_{3}
[/mm]
e [mm] \in [/mm] H, e [mm] \in [/mm] N
[mm] \Rightarrow [/mm] e*e = e [mm] \in [/mm] HN
[mm] n_{1}^{-1}h_{1}^{-1} \in [/mm] HN ist Inverses zu [mm] h_{1}n_{1} [/mm] da,
[mm] n_{1}^{-1}h_{1}^{-1}*h_{1}n_{1} [/mm] = [mm] n_{1}^{-1}*n_{1} [/mm] = e
(Hier bin ich mir nicht ganz sicher ob das stimmt).
(b)
Sei n [mm] \in [/mm] N, [mm] h_{1}n_{1}, h_{2}n_{2} \in [/mm] HN
[mm] \Rightarrow h_{1}n_{1}*n*h_{2}n_{2} [/mm] = [mm] h_{1}*n'*h_{2}n_{2} [/mm] = [mm] n''*n_{2} \in [/mm] N mit [mm] $n_{1}*n [/mm] = n'$ und [mm] $h_{1}*n'*h_{2}$ [/mm] = n''
Sei k [mm] \in [/mm] $H [mm] \cap [/mm] N$, [mm] h_{1}, h_{2} \in [/mm] H
[mm] \Rightarrow h_{1}*k*h_{2} [/mm] = [mm] h_{3}*h_{2} \in [/mm] H mit [mm] h_{1}*k [/mm] = [mm] h_{3}
[/mm]
(c)
Nun, hier würde ich eine geeignete Abbildung suchen und sie auf Injektivität und Surjektivität prüfen.
Nur kann ich mir hier die Elemente der Menge H/(h [mm] \cap [/mm] N) sowie HN/N nicht vorstellen und komme deshalb nicht weiter.
Kann mir da jemand helfen?
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Hallo!
> G Gruppe, N Normalteiler, H Untergruppe von G. Zeigen Sie:
> (a) [mm]HN:=\{ hn|h\in H, n\in N \}[/mm] ist eine Untergruppe von
> G.
> (b) N ist Normalteiler in HN und [mm]H \cap N[/mm] ist Normalteiler
> in H.
> (c) Es gilt [mm]H/(h \cap N) \cong HN/N [/mm].
> Hi Leute,
>
> also bei der (a) hab ich ganz normal das
> Untergruppenkriterium angewandt:
>
> Seien [mm]h_{1}n_{1}, h_{2}n_{2} \in[/mm] HN
> [mm]\Rightarrow h_{1}n_{1}*h_{2}n_{2}[/mm] = [mm]n_{3}*n_{2} \in[/mm] HN mit
> [mm]h_{1}*n_{1}*h_{2}[/mm] := [mm]n_{3}[/mm]
Hier gibt es ein Problem, denn der Ausdruck [mm] n_3 [/mm] muss nicht in N liegen.
Wenn N Normalteiler ist, liegen nur Ausdrücke der Form [mm] $g^{-1}ng\in [/mm] N$.
Versuch das mal durch [mm] $h_1 n_1 h_2 n_2 [/mm] = [mm] h_1 h_2 h_2^{-1} n_1 h_2 n_2$ [/mm] zu retten.
> e [mm]\in[/mm] H, e [mm]\in[/mm] N
> [mm]\Rightarrow[/mm] e*e = e [mm]\in[/mm] HN
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]n_{1}^{-1}h_{1}^{-1} \in[/mm] HN ist Inverses zu [mm]h_{1}n_{1}[/mm] da,
> [mm]n_{1}^{-1}h_{1}^{-1}*h_{1}n_{1}[/mm] = [mm]n_{1}^{-1}*n_{1}[/mm] = e
> (Hier bin ich mir nicht ganz sicher ob das stimmt).
Naja. Es ist nicht so klar anhand deiner Darstellung des Inversen, dass es tatsächlich in HN liegt.
Aber wenn man [mm] n_1^{-1}*h_1^{-1} [/mm] = [mm] h^{-1}*h*n_1^{-1}*h_1^{-1} [/mm] schreibt, ist es aufgrund der Normalteilereigenschaft von N klar.
> (b)
> Sei n [mm]\in[/mm] N, [mm]h_{1}n_{1}, h_{2}n_{2} \in[/mm] HN
> [mm]\Rightarrow h_{1}n_{1}*n*h_{2}n_{2}[/mm] = [mm]h_{1}*n'*h_{2}n_{2}[/mm]
> = [mm]n''*n_{2} \in[/mm] N mit [mm]n_{1}*n = n'[/mm] und [mm]h_{1}*n'*h_{2}[/mm] =
> n''
Selbes Problem wie oben bei (a). Das n'' muss nicht in N liegen.
> Sei k [mm]\in[/mm] [mm]H \cap N[/mm], [mm]h_{1}, h_{2} \in[/mm] H
> [mm]\Rightarrow h_{1}*k*h_{2}[/mm] = [mm]h_{3}*h_{2} \in[/mm] H mit [mm]h_{1}*k[/mm]
> = [mm]h_{3}[/mm]
Das ist nicht die Normalteilereigenschaft, du kannst doch ein festes [mm] $h\in [/mm] H$ nehmen und dann [mm] $k\in H\cap [/mm] N$ beliebig. Zu zeigen ist, dass
[mm] $h^{-1}* [/mm] k * h [mm] \in H\cap [/mm] N$
Das hast du noch nicht gezeigt.
> (c)
> Nun, hier würde ich eine geeignete Abbildung suchen und
> sie auf Injektivität und Surjektivität prüfen.
> Nur kann ich mir hier die Elemente der Menge H/(h [mm]\cap[/mm] N)
> sowie HN/N nicht vorstellen und komme deshalb nicht
> weiter.
So ein Gebilde A/B entsteht ja immer durch eine Äquivalenzrelation auf A: [mm] $a_1 \sim a_2 \gdw a_1 [/mm] - [mm] a_2 \in [/mm] B$.
Das heißt, die Restklassen [mm] \overline{a_1} [/mm] sind Objekte mit [mm] a_1\in [/mm] A.
Ein Element aus [mm] $H/(H\cap [/mm] N)$ hat also die Gestalt [mm] $\overline{h} [/mm] = h + [mm] H\cap [/mm] N$ mit [mm] $h\in [/mm] H$,
ein Element aus $HN / N$ hat die Gestalt [mm] $\overline{h*n} [/mm] + N$ mit [mm] $h\in [/mm] H, [mm] n\in [/mm] N$.
Du hast also, wenn du eine Abbildung von $H / [mm] (H\cap [/mm] N) [mm] \to [/mm] HN / N$ suchst, ein [mm] $\overline{h}$ [/mm] auf ein [mm] $\overline{h*n}$ [/mm] abzubilden. So viele Möglichkeiten gibt es da nicht; du kannst es ja einfach mal mit
[mm] $\phi: \overline{h} \mapsto \overline{h*1}$
[/mm]
probieren. Zu überprüfen ist Wohldefiniertheit. Wenn du dann noch eine Umkehrabbildung angeben kannst und nachrechnest, dass es eine ist, bist du fertig.
Viele Grüße,
Stefan
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> Hallo!
>
>
> > G Gruppe, N Normalteiler, H Untergruppe von G. Zeigen Sie:
> > (a) [mm]HN:=\{ hn|h\in H, n\in N \}[/mm] ist eine Untergruppe
> von
> > G.
> > (b) N ist Normalteiler in HN und [mm]H \cap N[/mm] ist
> Normalteiler
> > in H.
> > (c) Es gilt [mm]H/(h \cap N) \cong HN/N [/mm].
> > Hi Leute,
> >
> > also bei der (a) hab ich ganz normal das
> > Untergruppenkriterium angewandt:
> >
> > Seien [mm]h_{1}n_{1}, h_{2}n_{2} \in[/mm] HN
> > [mm]\Rightarrow h_{1}n_{1}*h_{2}n_{2}[/mm] = [mm]n_{3}*n_{2} \in[/mm] HN
> mit
> > [mm]h_{1}*n_{1}*h_{2}[/mm] := [mm]n_{3}[/mm]
>
> Hier gibt es ein Problem, denn der Ausdruck [mm]n_3[/mm] muss nicht
> in N liegen.
> Wenn N Normalteiler ist, liegen nur Ausdrücke der Form
> [mm]g^{-1}ng\in N[/mm].
> Versuch das mal durch [mm]h_1 n_1 h_2 n_2 = h_1 h_2 h_2^{-1} n_1 h_2 n_2[/mm]
> zu retten.
Stimmt natürlich.
[mm]h_1 n_1 h_2 n_2 = h_1 h_2 h_2^{-1} n_1 h_2 n_2 = h_1 h_2 n_3 n_2 = h_3 n_4 \in HN[/mm] mit [mm]h_2^{-1} n_1 h_2 = n_3 , h_1 h_2 = h_3[/mm] und [mm]n_3 n_2 = n_4[/mm]
> > e [mm]\in[/mm] H, e [mm]\in[/mm] N
> > [mm]\Rightarrow[/mm] e*e = e [mm]\in[/mm] HN
>
>
>
> > [mm]n_{1}^{-1}h_{1}^{-1} \in[/mm] HN ist Inverses zu [mm]h_{1}n_{1}[/mm] da,
> > [mm]n_{1}^{-1}h_{1}^{-1}*h_{1}n_{1}[/mm] = [mm]n_{1}^{-1}*n_{1}[/mm] = e
> > (Hier bin ich mir nicht ganz sicher ob das stimmt).
>
> Naja. Es ist nicht so klar anhand deiner Darstellung des
> Inversen, dass es tatsächlich in HN liegt.
> Aber wenn man [mm]n_1^{-1}*h_1^{-1}[/mm] =
> [mm]h^{-1}*h*n_1^{-1}*h_1^{-1}[/mm] schreibt, ist es aufgrund der
> Normalteilereigenschaft von N klar.
>
Stimmt, jetzt wo du es sagst, seh ich es auch. Danke für die Anmerkung.
> > (b)
> > Sei n [mm]\in[/mm] N, [mm]h_{1}n_{1}, h_{2}n_{2} \in[/mm] HN
> > [mm]\Rightarrow h_{1}n_{1}*n*h_{2}n_{2}[/mm] =
> [mm]h_{1}*n'*h_{2}n_{2}[/mm]
> > = [mm]n''*n_{2} \in[/mm] N mit [mm]n_{1}*n = n'[/mm] und [mm]h_{1}*n'*h_{2}[/mm] =
> > n''
>
> Selbes Problem wie oben bei (a). Das n'' muss nicht in N
> liegen.
>
Stimmt. Deshalb:
[mm] $h_1 n_1 [/mm] n [mm] h_2 n_2 [/mm] = [mm] h_1 [/mm] n' [mm] h_2 n_2 [/mm] = [mm] h_1 h_2 h_2^{-1} [/mm] n' [mm] h_2 n_2 [/mm] = [mm] h_1 h_2 [/mm] n'' [mm] n_2 [/mm] = [mm] h_3 n_3 \in [/mm] HN$ mit [mm] $n_1 [/mm] n = n'$ , [mm] $h_2^{-1} [/mm] n' [mm] h_2 [/mm] = n''$ , [mm] $h_1 h_2 [/mm] = [mm] h_3$ [/mm] und $n'' [mm] n_2 [/mm] = [mm] n_3$
[/mm]
> > Sei k [mm]\in[/mm] [mm]H \cap N[/mm], [mm]h_{1}, h_{2} \in[/mm] H
> > [mm]\Rightarrow h_{1}*k*h_{2}[/mm] = [mm]h_{3}*h_{2} \in[/mm] H mit
> [mm]h_{1}*k[/mm]
> > = [mm]h_{3}[/mm]
>
> Das ist nicht die Normalteilereigenschaft, du kannst doch
> ein festes [mm]h\in H[/mm] nehmen und dann [mm]k\in H\cap N[/mm] beliebig. Zu
> zeigen ist, dass
>
> [mm]h^{-1}* k * h \in H\cap N[/mm]
>
> Das hast du noch nicht gezeigt.
>
$h k [mm] h^{-1} [/mm] = h' [mm] h^{-1} [/mm] = h'' [mm] \in [/mm] H$, da k auch ein Element von H ist
(mit $h k = h'$ )
>
> > (c)
> > Nun, hier würde ich eine geeignete Abbildung suchen
> und
> > sie auf Injektivität und Surjektivität prüfen.
> > Nur kann ich mir hier die Elemente der Menge H/(h [mm]\cap[/mm]
> N)
> > sowie HN/N nicht vorstellen und komme deshalb nicht
> > weiter.
>
> So ein Gebilde A/B entsteht ja immer durch eine
> Äquivalenzrelation auf A: [mm]a_1 \sim a_2 \gdw a_1 - a_2 \in B[/mm].
>
> Das heißt, die Restklassen [mm]\overline{a_1}[/mm] sind Objekte mit
> [mm]a_1\in[/mm] A.
>
> Ein Element aus [mm]H/(H\cap N)[/mm] hat also die Gestalt
> [mm]\overline{h} = h + H\cap N[/mm] mit [mm]h\in H[/mm],
> ein Element aus [mm]HN / N[/mm]
> hat die Gestalt [mm]\overline{h*n} + N[/mm] mit [mm]h\in H, n\in N[/mm].
>
> Du hast also, wenn du eine Abbildung von [mm]H / (H\cap N) \to HN / N[/mm]
> suchst, ein [mm]\overline{h}[/mm] auf ein [mm]\overline{h*n}[/mm] abzubilden.
> So viele Möglichkeiten gibt es da nicht; du kannst es ja
> einfach mal mit
>
> [mm]\phi: \overline{h} \mapsto \overline{h*1}[/mm]
>
> probieren. Zu überprüfen ist Wohldefiniertheit. Wenn du
> dann noch eine Umkehrabbildung angeben kannst und
> nachrechnest, dass es eine ist, bist du fertig.
>
> Viele Grüße,
> Stefan
Erstmal vielen Dank Stefan und ein großes Lob für deine ausführliche Erklärung.
Ich muss es mir jetzt zwar noch 2-3 mal durchlesen, aber mir ist die ganze Sache mit den Restklassen schonmal viel klarer.
Ich werde mich jetzt nochmal an die Aufgabe dransetzen und poste dann meine Ergebnisse.
Ciao
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nochmal ne Frage zu der "Gestalt" der Elemente.
Du schreibst, dass ein Element aus $ H/(H\cap N) $ so aussieht: $ \overline{h} = h + H\cap N $ mit $ h\in H $
Wenn ich mir jetzt \IZ_2 = \IZ/2\IZ anschaue, dann würde \overline{5} so aussehen: $\overline{5} = 5 + 2\IZ$.
Wenn das richtig ist, dann verstehe ich diese Definition nicht.
(\overline{5} ist doch $1 + 2 \cdot 2$ in \IZ_2, also allg.: $ \overline{k} = a + b \cdot n$ in $\IZ_n$, mit $a \in \{0,...,n-1\}$ und $b \in \IZ}$.
Ciao
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Sa 19.03.2011 | | Autor: | Lippel |
> Nochmal ne Frage zu der "Gestalt" der Elemente.
> Du schreibst, dass ein Element aus [mm]H/(H\cap N)[/mm] so
> aussieht: [mm]\overline{h} = h + H\cap N[/mm] mit [mm]h\in H[/mm]
> Wenn ich
> mir jetzt [mm]\IZ_2[/mm] = [mm]\IZ/2\IZ[/mm] anschaue, dann würde
> [mm]\overline{5}[/mm] so aussehen: [mm]\overline{5} = 5 + 2\IZ[/mm].
> Wenn das richtig ist, dann verstehe ich diese Definition
> nicht.
> [mm](\overline{5}[/mm] ist doch [mm]1 + 2 \cdot 2[/mm] in [mm]\IZ_2,[/mm] also allg.:
> [mm]\overline{k} = a + b \cdot n[/mm] in [mm]\IZ_n[/mm], mit [mm]a \in \{0,...,n-1\}[/mm]
> und [mm]b \in \IZ}[/mm].
Hallo, Stefan hat das schon richtig definiert. Es ist eben [mm] $\overline{5} [/mm] = 5 + [mm] 2\IZ [/mm] = 1 + 2 [mm] \cdot [/mm] 2 + [mm] 2\IZ [/mm] = 1 + [mm] 2\IZ [/mm] = [mm] \overline{1}$, [/mm] da $2 [mm] \cdot [/mm] 2$ eben in [mm] $2\IZ$ [/mm] liegt. Es gilt also allgemein: [mm] $\overline{x} [/mm] = x + [mm] 2\IZ [/mm] = x + z [mm] \cdot [/mm] 2 + [mm] 2\IZ [/mm] = [mm] \overline{x + z \cdot 2}$ [/mm] mit $z [mm] \in \IZ$. [/mm] Du kann also aus [mm] $2\IZ$ [/mm] beliebig Elemente aus [mm] $2\IZ$ [/mm] herausziehen, denn [mm] $2\IZ [/mm] = z [mm] \cdot [/mm] 2 + [mm] 2\IZ$.
[/mm]
LG Lippel
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