Normalteiler < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Do 23.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Sei G ein Normalteiler von [mm] S_5.
[/mm]
(i) Zeigen Sie, dass G [mm] \cap A_5 [/mm] ein Normalteiler von [mm] A_5 [/mm] ist.
(ii) Beweisen Sie, dass #G [mm] \not= [/mm] 2.
(iii) Schließen Sie aus (i) und (ii), dass die Normalteiler von [mm] S_5 [/mm] genau die Untergruppen {e}, [mm] A_5 [/mm] und [mm] S_5 [/mm] sind.
http://www.myimg.de/?img=hm09b7d.jpg |
Hallo Leute,
und zwar geht es mir um die (ii) und (iii). In dem Link befinden sich die Lösungen dazu.
1. Was heißt "Untergruppen der Ordnung 2 werden von Produkten disjunkter 2-Zyklen zyklisch erzeugt." - Kann mir da jemand ein Beispiel geben?
2. Ich verstehe auch nicht ganz was danach gemacht wird, wieso werden da nur die 2er Zyklen berachtet in [mm] S_5 [/mm] gibt es doch auch noch größere Zykel und was genau hilft mir die Normalteilereigenschaft?
3. Wie kommt man bei der (ii) auf die Mächtigkeit 60 bzw. 120?
Soweit erstmal und danke schonmal!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Do 23.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> 1. Was heißt "Untergruppen der Ordnung 2 werden von
> Produkten disjunkter 2-Zyklen zyklisch erzeugt." - Kann mir
> da jemand ein Beispiel geben?
Was sind denn die Elemente in [mm] S_5 [/mm] mit Ordnung 2? Sicherlich die Transpositionen. Die Ordnung eines Produkts mehrerer Permutationen ist das kgv der Ordnungen dieser Zykel. Was ist dann die Ordnung von zwei disjunkten 2-Zykeln? Warum müssen die disjunkt sein? Warum zyklisch erzeugt?
Diese Fragen kannst du dir jetzt vlt. leichter beantworten.
> 2. Ich verstehe auch nicht ganz was danach gemacht wird,
> wieso werden da nur die 2er Zyklen berachtet in [mm]S_5[/mm] gibt es
> doch auch noch größere Zykel und was genau hilft mir die
> Normalteilereigenschaft?
G ist nach Voraussetzung ein Normalteiler. Wäre #G=2 wären alle Untergruppen der Ordnung 2 Normalteiler. Genau das wird hier widerlegt.
Außerdem ist die Lösung nicht ganz richtig. Es können a,b,c,d [mm] \in [/mm] {1,2,3,4,5} gewählt werden, da wir in [mm] S_5 [/mm] sind nicht in [mm] S_4! [/mm] Ändert sich aber nix.
> 3. Wie kommt man bei der (ii) auf die Mächtigkeit 60 bzw.
> 120?
Lies den Beweis doch genau. Da steht G = [mm] A_5 [/mm] oder [mm] G=S_5. [/mm] Also ist ord(G) = [mm] ord(A_5) [/mm] oder ord(G) = [mm] ord(S_5).
[/mm]
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Fr 24.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Aber in [mm] S_5 [/mm] gibt es doch noch andere Zykel, die nicht die Ordnung 2 haben. (12345) hat doch z.B. die Ordnung 5 oder? Betrachten wir nur die 2-Zykel um das ganze zu widerlegen?
Wir haben im Skript den Satz, wenn der Index, also [G:H]=2 ist, dann ist H ein Normalteiler von G. Meinst du das?
Achso, ja klar, 60 ist einfach die Anzahl der Elemente in [mm] A_5, [/mm] mich hat nur "nach dem Satz von Lagrange" verwirrt.
Danke soweit!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:37 Fr 24.08.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
ich verstehe nicht warum du unbedingt Untergruppen größerer Ordnung betrachten willst. Kannst du gerne machen. Lagrange sagt dir zu welcher Gruppenordnung es untergruppen in [mm] S_5 [/mm] gibt.
Aber, schau dir doch die Fragestellung an! Da ist zu zeigen, dass #G [mm] \neq [/mm] 2 ist. Also ist es doch klar, dass man alle Untergruppen der Ordnung zwei betrachten muss. Nach Voraussetzung ist G ein Normalteiler. Es hat schon einen Grund warum das so ist. Es liegt also auf der Hand diese Eigenschaft zu verwenden.
Den Index 2 brauchst du hier nicht.
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Sa 25.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, hat sich geklärt, danke!
|
|
|
|
