Normalteiler, Faktorgruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Sa 10.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Sei m [mm] \in \IZ, [/mm] m > 1. Dann ist [mm] \IZ_m [/mm] , d.h. die additive Gruppe der Restklassen modulo m die Faktorgruppe von [mm] (\IZ, [/mm] +) nach dem Normalteiler (m [mm] \IZ, [/mm] +) |
Der Satz steht bei uns als Bsp im SKript. Leidre verstehe ich das nicht.
Sei G eine Gruppe, N eine Untergruppe von G dass eine(und damit alle) der folgenden bedingungen erfüllt wird Normalteiler von G genannt:
1)aN = Na [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G
2) aN [mm] \subseteq [/mm] Na [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G
3) aN [mm] a^{-1} \subseteq [/mm] N [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] G
4) a N [mm] a^{-1} [/mm] =N
Ist G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G, sobezeichnet man die Gruppe G/N als Faktorgruppe von G nach H ( = die Menge der Nebenklassen von N in G mit der Verknüpfung (aN)(bN)=(ab)N
LG
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> Sei m [mm]\in \IZ,[/mm] m > 1. Dann ist [mm]\IZ_m[/mm] , d.h. die additive
> Gruppe der Restklassen modulo m die Faktorgruppe von [mm](\IZ,[/mm]
> +) nach dem Normalteiler (m [mm]\IZ,[/mm] +)
> Der Satz steht bei uns als Bsp im SKript. Leider verstehe
> ich das nicht.
Das ist eine sehr unkonkrete Frage.
Zu allerst ist es - von wem auch immer - zu viel des Gutens sich der Faulheit hinzugeben und [mm]\IZ/m\IZ[/mm] mit [mm]\IZ_m[/mm] abzukürzen. Mit [mm]\IZ_m[/mm] ist hier eben [mm]\IZ/m\IZ[/mm] gemeint.
>
> Sei G eine Gruppe, N eine Untergruppe von G dass eine(und
> damit alle) der folgenden bedingungen erfüllt wird
> Normalteiler von G genannt:
> 1)aN = Na [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G
> 2) aN [mm]\subseteq[/mm] Na [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G
> 3) aN [mm]a^{-1} \subseteq[/mm] N [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] G
> 4) a N [mm]a^{-1}[/mm] =N
>
> Ist G eine Gruppe und N ein Normalteiler von G,
> sobezeichnet man die Gruppe G/N als Faktorgruppe von G nach
> H ( = die Menge der Nebenklassen von N in G mit der
> Verknüpfung (aN)(bN)=(ab)N
>
> LG
>
Da keine konkrete Frage angegeben wurde versuche ich ein Beispiel zu geben.
Wir betrachten [mm]\IZ/5\IZ[/mm]. Dabei halten wir uns im Bereich der ganzen Zahlen modulo 5 auf. Jedes Element in [mm]\IZ[/mm] hat einen Repräsentanten in [mm]\IZ/5\IZ=\{5z\; | \; z\in\IZ\}[/mm]. Nimmt man sich 8, 10 oder 12 , so sind die Repräsentanten in [mm]\IZ/5\IZ[/mm] dann [mm]\overline{3},\overline{0},\overline{2}[/mm] (8 modulo 5 ist eben 3, ...)
Dieses [mm]\IZ/5\IZ[/mm] ist eine additive Untergruppe von [mm]\IZ[/mm]. Das hat man vermutlich einmal schon gezeigt bei euch. Falls nicht, so solltest du dringen nachholen z.z.: [mm]\IZ/m\IZ[/mm] ist Untergruppe von [mm]\IZ[/mm] bgzl. Addition für [mm]m\in \IN[/mm].
Jetzt fehlt noch die Sache mit dem Normalteiler. Die Restklasse [mm]\IZ/5\IZ[/mm] hat einen Normalteiler [mm]m\IZ[/mm]. Der "verschluckt" sozusagen alle Elemente aus [mm]\IZ[/mm] bei der Konjugation. Im Beispiel von [mm]5\IZ[/mm] und einer Zahl [mm]z\in\IZ[/mm] ist
[mm]z+5\IZ+\blue{z^{-1}}=z+5\IZ+\blue{(-z)}=5\IZ[/mm] da man hier vertauschen darf.
Man sieht es vielleicht auch so
[mm] \begin {array}{ccc} z\in\IZ & \overset{f}{\longrightarrow} &f(z)\\
\searrow & &\nearrow\\
&g(z)\in \IZ/m\IZ&\end {array} [/mm]
mit dem Homomorphiesatz. Da [mm]m\IZ[/mm] der Kern von dem Homomorphismus f ist, so ist [mm]m\IZ[/mm] auch ein Normalteiler.
Wenn du keine konkrete Frage hast, kannst du leider auch keinen Hellseher erwarten.
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