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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Di 19.09.2006 | | Autor: | baskolii |
| Aufgabe | Sei H eine Untergruppe mit endlichem Index in einer Gruppe G (nicht notwendigerweise endlich). Zeige, dass G einen Normalteiler mit endlichem Index enthaelt, der in H enthalten
ist.
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So, als Normalteiler hab ich mir [mm] N=\bigcap_{x\in G}xHx^{-1} [/mm] ausgeguckt.
Bei meinem Beweis, dass N endlichen Index in G hat, bin ich mir absolut nicht sicher und
es waere echt nett, wenn sich den mal jemand anschauen wuerde.
[mm] G=\bigcup_{x\in S}xH [/mm] (also G ist die Vereingung der disjunkten links Nebenklassen von U, [mm] |S|<\infty [/mm] nach Voraussetzung)
[mm] \Rightarrow \forall g\in [/mm] G [mm] \exists x\in [/mm] S, [mm] u\in [/mm] H, so dass g=xu.
[mm] \Rightarrow N=\bigcap_{x\in S}xHx^{-1} [/mm] .
Sei [mm] x\in [/mm] S und [mm] g_1,g_2\in [/mm] xH [mm] \Rightarrow \exists u_1,u_2\in [/mm] H, so dass [mm] g_i=xu_i, [/mm] i=1,2.
[mm] \Rightarrow g_1g_2^{-1}=xu_1u_2^{-1}x^{-1}\in xHx^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow g_1xHx^{-1}=g_2xHx^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (G : [mm] xHx^{-1})\le [/mm] (G:H). (da Elemente die in der selben Nebenklasse von H liegen auch in der selben Nebenklasse von [mm] xHx^{-1} [/mm] liegen)
[mm] S:=\{s_1,...,s_n\}, [/mm] dann ist [mm] N=\bigcap_{i=1}^n s_iHs_i^{-1} [/mm] .
Jede links Nebenklasse von N ist von der Form [mm] xN=\bigcap_{i=1}^n xs_iHs_i^{-1} [/mm] .
[mm] \Rightarrow [/mm] Es gibt hoechstens (G : [mm] s_1Hs_1^{-1})\cdot [/mm] (G : [mm] s_2Hs_2^{-1})\cdot ...\cdot(G [/mm] : [mm] s_nHs_n^{-1}) [/mm] verschiedene links Nebenklassen von N.
[mm] \Rightarrow [/mm] (G : [mm] N)\le [/mm] (G : [mm] s_1Hs_1^{-1})\cdot [/mm] (G : [mm] s_2Hs_2^{-1})\cdot ...\cdot(G [/mm] : [mm] s_nHs_n^{-1}) \le [/mm] (G : [mm] H)^n [/mm] < [mm] \infty. [/mm]
Danke fuer jeden der sich bis hierher durchgekaempft hat. Ich hoffe, dass das richtig ist, sass da naemlich echt lange dran.
Verena
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Hallo und einen guten Spät-Morgen/ Früh-Mittag, Verena !
(Letzterer Begriff hätte dann in Köln nochmal eine besondere Bedeutung ...  )
> Sei H eine Untergruppe mit endlichem Index in einer Gruppe
> G (nicht notwendigerweise endlich). Zeige, dass G einen
> Normalteiler mit endlichem Index enthaelt, der in H
> enthalten
> ist.
>
> So, als Normalteiler hab ich mir [mm]N=\bigcap_{x\in G}xHx^{-1}[/mm]
> ausgeguckt.
> Bei meinem Beweis, dass N endlichen Index in G hat, bin
> ich mir absolut nicht sicher und
> es waere echt nett, wenn sich den mal jemand anschauen
> wuerde.
>
> [mm]G=\bigcup_{x\in S}xH[/mm] (also G ist die Vereingung der
> disjunkten links Nebenklassen von U, [mm]|S|<\infty[/mm] nach
> Voraussetzung)
Nebenklassen von H ? (anstatt U)
> [mm]\Rightarrow \forall g\in[/mm] G [mm]\exists x\in[/mm] S, [mm]u\in[/mm] H, so
> dass g=xu.
Ja.
> [mm]\Rightarrow N=\bigcap_{x\in S}xHx^{-1}[/mm] .
richtig.
> Sei [mm]x\in[/mm] S und [mm]g_1,g_2\in[/mm] xH [mm]\Rightarrow \exists u_1,u_2\in[/mm]
> H, so dass [mm]g_i=xu_i,[/mm] i=1,2.
> [mm]\Rightarrow g_1g_2^{-1}=xu_1u_2^{-1}x^{-1}\in xHx^{-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow g_1xHx^{-1}=g_2xHx^{-1}[/mm]
Richtig.
> [mm]\Rightarrow[/mm] (G :
> [mm]xHx^{-1})\le[/mm] (G:H). (da Elemente die in der selben
> Nebenklasse von H liegen auch in der selben Nebenklasse von
> [mm]xHx^{-1}[/mm] liegen)
(mit dem x, das ihre Nebenklasse repräsentiert:)
[mm] \forall x\in S\: \forall g_1,g_1\in xH\:\:\: g_1xHx^{-1}=g_2xHx^{-1}
[/mm]
> [mm]S:=\{s_1,...,s_n\},[/mm] dann ist [mm]N=\bigcap_{i=1}^n s_iHs_i^{-1}[/mm]
> .
Ja.
> Jede links Nebenklasse von N ist von der Form
> [mm]xN=\bigcap_{i=1}^n xs_iHs_i^{-1}[/mm] .
Klar nach Definition von N.
> [mm]\Rightarrow[/mm] Es gibt hoechstens (G : [mm]s_1Hs_1^{-1})\cdot[/mm] (G
> : [mm]s_2Hs_2^{-1})\cdot ...\cdot(G[/mm] : [mm]s_nHs_n^{-1})[/mm]
> verschiedene links Nebenklassen von N.
Richtig.
Damit sollte es stimmen.
Lieben Gruss,
Mathias
> [mm]\Rightarrow[/mm] (G : [mm]N)\le[/mm] (G : [mm]s_1Hs_1^{-1})\cdot[/mm] (G :
> [mm]s_2Hs_2^{-1})\cdot ...\cdot(G[/mm] : [mm]s_nHs_n^{-1}) \le[/mm] (G : [mm]H)^n[/mm]
> < [mm]\infty.[/mm]
>
> Danke fuer jeden der sich bis hierher durchgekaempft hat.
> Ich hoffe, dass das richtig ist, sass da naemlich echt
> lange dran.
>
> Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:06 Do 21.09.2006 | | Autor: | baskolii |
Hi Mathias,
vielen Dank, bin mal gespannt was die Professoren dazu sagt.
Schoene Gruesse aus dem sonnigen Atlanta.
Verena
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