Normalteiler Kommutatorgruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:00 Do 18.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hallo Jungs,
ich sitze jetzt schon fast 3 Stunden an so einer blöden Beweisaufgabe und komme überhaupt nicht voran.
vielleich könnt ihr mir da weiterhelfen wäre super nett!
die Aufgabe lautet:
Man zeige, daß für jeden Normalteiler N einer Gruppe G gilt: Die Faktorgruppe
G/N ist genau dann kommutativ, wenn die Kommutatorgruppe K(G) in N
enthalten ist.
Eine kleine wahrscheinlich peinlich einfache Frage hätte ich auch noch dazu was heißt es genau, wenn eine Gruppe in einer anderen enthalten ist? Einfach, dass die Elemente der einen Gruppe auch in der Anderen vorkommen?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß Toyo
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Also eine Gruppe G ist in einer anderen Gruppe G* enthalten, wenn sie Teilmenge dieser Gruppe ist, also wenn alle Elemente von G auch in G* enthalten sind. Natürlich kann G* noch andere Elemente beinhalten. Ich hoffe, dass das deine Frage beantwortet hat, wenn sie so gemeint war.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Toyo |
Hi Phlipper u. alle anderen, danke für deine Antwort. Aber ich komme bei dem Beweis leider immer noch nicht weiter. Hat einer von euch noch ne Idee zu dem Beweis?
Bitte Bitte helft mir 
Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:43 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Toyo!
Ich zeige dir jetzt die eine Richtung des Beweises, die andere kriegst du dann selber hin (du musst nur alle Beweisschritte umdrehen).
Wir setzen voraus, dass $K(G) [mm] \subset [/mm] N$ gilt.
Zu zeigen ist, dass dann $G/N$ kommutativ ist, also
$[x] [mm] \circ [/mm] [y] = [y] [mm] \circ [/mm] [x]$
für alle $x,y [mm] \in [/mm] G$.
Wir haben aber für alle [mm] $x,y\in [/mm] G$:
$([x] [mm] \circ [/mm] [y]) [mm] \circ [/mm] ([y] [mm] \circ [x])^{-1}$
[/mm]
$= [x] [mm] \circ [/mm] [y] [mm] \circ [x]^{-1} \circ [y]^{-1}$
[/mm]
$= [mm] [xyx^{-1} y^{-1}]$
[/mm]
$= [e]$,
wegen [mm] $xyx^{-1}y^{-1} \in [/mm] K(G) [mm] \subset [/mm] $N.
Daraus folgt die Behauptung.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Phlipper |
Der Beweis sieht recht einfach aus,wenn man ihn sieht, also die Rechenschritte verstehe ich, aber könntest du bitte noch einmal kurz erläutern, wie du auf den Ansatz ([x] * [y]) *([y]*[x])hich minus 1kommst und aus diesem Ansatz bekommst du heraus, dass es das neutrale element ist. Wieso folgt daraus, dass G/N kommutativ ist ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Phlipper!
Nun ja, aus
$([x] [mm] \cdot [/mm] [y]) [mm] \cdot [/mm] ([y] [mm] \cdot [x])^{-1} [/mm] = [e]$
folgt ja nach Multiplikation mit $[y] [mm] \cdot [/mm] [x]$:
$[x] [mm] \cdot [/mm] [y] = [y] [mm] \cdot [/mm] [x]$,
und dies ist ja gerade die Kommutativität in $G/N$.
Jetzt klarer? 
Liebe Grüße
Stefan
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