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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mo 09.02.2009 | | Autor: | Pawelos |
| Aufgabe | Seien N, M [mm] \subseteq [/mm] G Normalteiler der Gruppe G mit N [mm] \cap [/mm] M = {1}.
Zeige, dass mn = nm für alle n [mm] \in [/mm] N, m [mm] \in [/mm] M ist und das es einen Isomorphismus
NM [mm] \cong [/mm] N [mm] \times [/mm] M
gibt |
Hi,
Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll. Ein Iso. ist doch z.B.
N [mm] \times [/mm] M [mm] \to [/mm] NM, (n,m) [mm] \mapsto [/mm] nm
nur wie sollte dann die Verknüpfung auf N [mm] \times [/mm] M aussehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Mo 09.02.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Seien N, M [mm]\subseteq[/mm] G Normalteiler der Gruppe G mit N [mm]\cap[/mm]
> M = {1}.
> Zeige, dass mn = nm für alle n [mm]\in[/mm] N, m [mm]\in[/mm] M ist und das
> es einen Isomorphismus
> NM [mm]\cong[/mm] N [mm]\times[/mm] M
> gibt
> Hi,
>
> Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.
Hast du schon $n m = m n$ fure alle $n [mm] \in [/mm] N$, $m [mm] \in [/mm] M$ gezeigt?
Fang damit doch mal an.
> Ein Iso. ist doch
> z.B.
>
> N [mm]\times[/mm] M [mm]\to[/mm] NM, (n,m) [mm]\mapsto[/mm] nm
>
> nur wie sollte dann die Verknüpfung auf N [mm]\times[/mm] M
> aussehen?
Na, komponentenweise! Also $(n, m) (n', m') = (n n', m m')$.
Du musst doch zeigen:
i) das ist ein Homomorphismus,
ii) das ist surjektiv (einfach),
iii) das ist injektiv.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Di 10.02.2009 | | Autor: | Pawelos |
Hallo
also wenn ich annehme das nm = mn gilt kann ich alles was für den Iso. nötig ist zeigen.
> i) das ist ein Homomorphismus,
> ii) das ist surjektiv (einfach),
> iii) das ist injektiv.
aber ich krieg das nicht hin zu zeigen das nm = mn gilt.
Ich nehme an das nm [mm] \not= [/mm] mn dann sind zwei Elemente
mn, mn [mm] \in [/mm] nM [mm] \cap [/mm] mN
und versuche ein Widerspruch zu N [mm] \cap [/mm] M = {1} zu finden. Aber es klappt nicht... Ist das vielleicht der falsche Ansatz???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Di 10.02.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> also wenn ich annehme das nm = mn gilt kann ich alles was
> für den Iso. nötig ist zeigen.
>
> > i) das ist ein Homomorphismus,
> > ii) das ist surjektiv (einfach),
> > iii) das ist injektiv.
Schön!
> aber ich krieg das nicht hin zu zeigen das nm = mn gilt.
Untersuch doch [mm] n^{-1}*m^{-1}*n*m [/mm] unter der Prämisse, daß N und M Normalteiler sind. Siehst du, daß das sowohl in M wie auch in N liegen muß?
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Di 10.02.2009 | | Autor: | Pawelos |
Vielen Dank hat jetzt alles geklappt!!!!!!!!!!!!
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