Normalteiler der ganzen Zahlen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Do 30.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Hallo Leute,
ich hätte mal eine Frage und zwar möchte ich mir die Normalteilerdefinition klarer machen und zwar mithilfe von [mm] \IZ. [/mm] Für einen Normalteiler gilt ja:
[mm] g^{-1}hg \in [/mm] H für alle g [mm] \in [/mm] G und h [mm] \in [/mm] H
Nehmen wir mal an:
[mm] G=\IZ [/mm] und [mm] H=2\IZ
[/mm]
Bezieht sich die Definition [mm] g^{-1}hg [/mm] nur auf die Multiplikation oder können da auch andere Verknüpfungen stehen wie [mm] g^{-1}+h+g, [/mm] ansonsten hätte ja [mm] \IZ [/mm] keine Normalteiler, da wir bei der Multiplikation kein Inverses haben. Ist womöglich eine blöde Frage, aber stehe da gerade etwas auf dem Schlauch.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Do 30.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Da darf auch + stehen. Man nimmt nur immer "*" wegen der Schreibarbeit.
Hier gilt auch, dass jede (additive) Untergruppe von [mm] \IZ [/mm] ein Normalteiler ist, da [mm] \IZ [/mm] kommutativ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Do 30.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Danke für deine Antwort!. Kann man das auch irgendwie beweisen? Bzw. ich versuche es mal!
[mm] G=\IZ [/mm] und [mm] H=n\IZ
[/mm]
Sei g [mm] \in \IZ [/mm] und h [mm] \in n\IZ
[/mm]
g+h-g=g-g+h=0+h=h [mm] \in \IZ
[/mm]
Dies gilt wegen der Kommutativität, kann man das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 30.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du musst z.B. zeigen, dass [mm] H=gHg^{-1}. [/mm] Das kannst du nun sauber mit 2 Mengeninklusionen zeigen, oder aber ganz einfach durch
[mm] gHg^{-1}=\{ghg^{-1}| h \in H\}=\{gg^{-1}h| h \in H\}=...=H.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Do 30.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Der Beweis ist verständlich, noch eine Sache:
[mm] \IZ/2\IZ=(2\IZ, 1+2\IZ)
[/mm]
Somit ist doch [mm] 2\IZ [/mm] Untergruppe, Normalteiler und Nebenklasse, richtig?
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> Der Beweis ist verständlich, noch eine Sache:
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> [mm]\IZ/2\IZ=(2\IZ, 1+2\IZ)[/mm]
>
> Somit ist doch [mm]2\IZ[/mm] Untergruppe, Normalteiler und
> Nebenklasse, richtig?
Jup, stimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:56 Do 30.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Alles klar, danke euch!
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