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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:32 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Steirerman |
Es sei [mm] F(x,y,z)=2x^2+3y^2+4z^2-18
[/mm]
Bestimme den Normalvektor????????????
Ich weiß, dass sollte ich normal schon können, ist sicher nicht schwer.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Steirerman!
> Es sei [mm]F(x,y,z)=2x^2+3y^2+4z^2-18
[/mm]
> Bestimme den Normalvektor????????????
Das macht so keinen Sinn, denke ich.
Ist F ein Zwischenergebnis, das du selbst berechnet hast?
Gibt es einen größeren Kontext? Falls ja, wäre es nett, wenn du ihn auch noch nennen könntest.
Viele Grüße
Marc
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Es sei F(x,y,z) = [mm] 2x^2+3y^2+4z^2-18
[/mm]
Bestimmen Sie einen Normalvektor und die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche F(x,y,z)=0 im Punkt P=(1,2,1).Tangentialebene ist klar nur mit dem Normalvektor kenn ich mich nicht aus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Mi 29.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Steirerman!
> Es sei F(x,y,z) = [mm]2x^2+3y^2+4z^2-18[/mm]
> Bestimmen Sie einen Normalvektor und die Gleichung der
> Tangentialebene an die Fläche F(x,y,z)=0 im Punkt
> P=(1,2,1).Tangentialebene ist klar nur mit dem Normalvektor
> kenn ich mich nicht aus.
Okay, jetzt wird es klar.
Der Normalenvektor bezieht sich auf die (Tengential-) Ebene, und nicht unmittelbar auf die Kugel das Ellipsoid.
Korrektur: Da F=0 ein Ellipsoid ist, ist die folgende Antwort falsch; ich kann sie auch nicht verbessern, da ich überfragt bin. Marc.
Hier ist also ein Normalenvektor zu der Ebene gesucht, dieser ist aber sehr einfach bestimmt:
F(x,y,z)=0 ist ja eine Kugeloberfläche, und es soll die Ebene bestimmt werden, die durch den Punkt P (in der Kugeloberfläche) verläuft und die tangential an der Kugel anliegt.
Wie im zweidimensionalen Fall (also Tangente an Kreis) gilt auch hier, dass der Radius [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] senkrecht auf der Tangentialebene steht, mit anderen Worten also ein Normalenvektor ist (M sei der Mittelpunkt der Kugel).
Bestimme also zunächst den Mittelpunkt M der Kugel. Der Vektor [mm] \overrightarrow{MP} [/mm] ist dann ein Normalenvektor der Tangentialebene an die Kugel durch den Punkt P.
Aus Normalenvektor und einem P läßt sich die Tangentialebene aufstellen.
Bin gespannt auf deine Ergebnisse,
Marc
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Hmmmm.....also für die Gleichung der Tangentialebene hab ich: 4x+12y+8z = 36 herausbekommen.
Und wie bestimm ich jetzt den Mittelpunkt der Kugel?
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Also: fx =4x; fy=6y und fz=8z dann die Punkt eingesetz
fx= 4 ; fy=12 und fz=8
4*(x-1)+12*(y-2)+8*(z-1) ergibt -36+4x+12y+8z=0
Passt doch so oder?
Und bitte kann mir wer den Normalvektor ausrechnen, so dass ich es auch verstehe?????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Do 30.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Steirerman
> Also: fx =4x; fy=6y und fz=8z dann die Punkt eingesetz
> fx= 4 ; fy=12 und fz=8
> 4*(x-1)+12*(y-2)+8*(z-1) ergibt -36+4x+12y+8z=0
> Passt doch so oder?
> Und bitte kann mir wer den Normalvektor ausrechnen, so
> dass ich es auch verstehe?????
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, du hast völlig Recht!! Da hatte ich mich verhaspelt, sorry! ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
Gut, als Wiedergutmachung schreibe ich dir etwas zum Normalenvektor. 
(Aber nicht viel, weil mir dazu gar nicht so viel einfällt)
Zunächst einmal die einfachere Ueberlegung, die aber das Folgende Wissen voraussetzt:
Der Garadient einer Funktion steht senkrecht auf ihre Niveauflächen und zeigt in Richtung des grössten Zuwachses.
Schauen wir das einmal ein Wenig an:
Die Funktion lautete:
[mm] $f(x,y,z)=2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-18$
[/mm]
Unter der Niveaufläche einer Funktion versteht man die (zusammenhängende) Menge jener Werte des Definitionsbereichs, welche den gleichen Funktionswert Annehmen.
Somit definieren die folgenden Gleichungen je eine Niveaufläche:
[mm] $2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-18=-18$ [/mm] (Der Ursprung)
[mm] $2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-18=-17$ [/mm] (ein kleines Ellipsoid)
[mm] $2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-18=-16$ [/mm] (ein weniger kleines Ellipsoid)
[mm] $2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-18=-15$ [/mm] (ein grösseres Ellipsoid)
[mm] $2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-18=-14$ [/mm] (ein noch grösseres Ellipsoid)
[mm] $2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-18=-13$ [/mm] (ein weiter vergrössertes Ellipsoid)
...
...
Die Funktion selber ist ein skalares Feld: jedem Punkt im Raum wird ein Skalar zugeordnet.
Der Gradient hingegen ist ein Vektor, bestehend aus $3$ Komponenten (die $3$ gilt natürlich nicht allgemein, wäre die Dimensionszahl des Raumes), dessen Komponenten die Partiellen Ableitungen nach den Variablen sind, wobei zum Ableiten alle anderen Variablen als Konstante betrachtet werden müssen.
also:
$grad [mm] \, [/mm] f(x,y,z) = [mm] \left( \bruch{\delta f}{\delta x}, \bruch{\delta f}{\delta y}, \bruch{\delta f}{\delta z} \right)$
[/mm]
Weil der Gradient senkrecht auf die Niveaufläche steht, steht er selbstverständlich auch senkrecht zur Tangentialebene!
Der Normalenvektor zur Tangientialebene ist also nichts anderes als der Gradient der Funktion!
In deinem Beispiel also:
[mm] $\vec{n}=(2x,6y,8z)$ [/mm] am Punkt $(x,y,z)$
Mit den eingesetzten Werten $(1,2,1)$ also:
[mm] $\vec{n}=(2,12,8)$
[/mm]
Hier hatte ich auch meinem Schusselfehler: Ich hatte den Punkt $(1,1,1)$ eingesetzt.
Beachte auch: die Niveaufläche meines ersten Beispiels
[mm] $2x^{2}+3y^{2}+4z^{2}-18=-18$
[/mm]
ist eine entartete Fläche, nämlich nur der Ursprungspunkt.
Setzt du diesen beim Gradienten ein, so kommt $(0,0,0)$ heraus, hat also gar keine bestimmte Richtung. Der Funktionswert nimmt von hier aus gegen alle Seiten hin zu, die Funktion ist da also minimal. Die notwendige Bedingung, wonach der Gradient der Nullvektor sein muss, wo die Funktion ein Extremum annimmt, kann an diesem Beispiel schön nachvollzugen werden.
Ich glaube, das genügt vorerst. Meine Zeit läuft mir davon.
Wenn du über den Normalenvektor, auch über den Normaleneinheitsvektor einer gegebenen Ebenengleichung auch noch etwas hören willst, solltest du das hier publik machen. Wahrscheinlich werde ich dies aber nicht mehr beantworten können, da ich bis am 8. Oktober kaum mehr im Matheraum anzutreffen sien werde. (Das wäre eigentlich die weniger einfache Ueberlegung gewesen, die ich am Anfang des Artikels noch geplant hatte)
Aber es gibt ja soo viele kompetente Mitgleider... (bereits über $1400$!)
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Do 30.09.2004 | | Autor: | Paulus |
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> > Es sei F(x,y,z) = [mm]2x^2+3y^2+4z^2-18[/mm]
> > Bestimmen Sie einen Normalvektor und die Gleichung der
>
> > Tangentialebene an die Fläche F(x,y,z)=0 im Punkt
> > P=(1,2,1).Tangentialebene ist klar nur mit dem
> Normalvektor
> > kenn ich mich nicht aus.
>
> Okay, jetzt wird es klar.
>
> Der Normalenvektor bezieht sich auf die (Tengential-)
> Ebene, und nicht unmittelbar auf die Kugel.
>
> Hier ist also ein Normalenvektor zu der Ebene gesucht,
> dieser ist aber sehr einfach bestimmt:
>
> F(x,y,z)=0 ist ja eine Kugeloberfläche, und es soll die
> Ebene bestimmt werden, die durch den Punkt P (in der
> Kugeloberfläche) verläuft und die tangential an der Kugel
> anliegt.
>
Nein, das ist keine Kugel! Das sieht eher nach einem Ellipsoid aus. 
> Wie im zweidimensionalen Fall (also Tangente an Kreis) gilt
> auch hier, dass der Radius [mm]\overrightarrow{MP}[/mm] senkrecht
> auf der Tangentialebene steht, mit anderen Worten also ein
> Normalenvektor ist (M sei der Mittelpunkt der Kugel).
>
Das stimmt dann auch nicht ganz. Im zweidimensionalen Fall entspräche das dann eher einer Ellipse.
> Bestimme also zunächst den Mittelpunkt M der Kugel. Der
> Vektor [mm]\overrightarrow{MP}[/mm] ist dann ein Normalenvektor der
> Tangentialebene an die Kugel durch den Punkt P.
>
> Aus Normalenvektor und einem P läßt sich die
> Tangentialebene aufstellen.
>
> Bin gespannt auf deine Ergebnisse,
> Marc
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
