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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 20.05.2008 | | Autor: | bliblub |
Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit den Ecken A (3/-6/1), B (-2/-2/13), C (6/-2/5) und der Spitze S (-6/12/1)
a) Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene durch A,B,C
Es gibt dazu eine Möglichkeit die ich genutzt habe aber noch nicht vollständig bearbeitet habe weil ich mir unsicher war:
Habe zuerst die Vektoren AB und AC bestimmt:
Vektor AB = ( -2 / -2 / 13) - ( 3 / -6 / 1 ) = ( -5 / 4 / 12)
Vektor AC = ( 6 / -2 / 5 ) - ( 3 / -6 / 1 ) = ( 3 / 4 / 4 )
Warum genau AB und AC weiß ich selber nicht mehr genau? Ginge auch AC und BC ? Naja ich habe danach dann die 2 Gleichungen hier aufgestellt:
Vektor AB * Vektor n = 0 und Vektor AC * Vektor n = 0
1.) -5n1 + 4n2 + 12n3 = 0
2.) 3n1 + 4n2 + 4n3 = 0
hab erstmal für alle n1 .. n1 = 2 eingesetzt.
1.) -10 + 4n2 +12n3 = 0
2.) 6 + 4n2 + 4n3 = 0
jetzt 1.) minus! 2.)
-16 + 8n3 = 0 / -8n3
-16 = -8n3 / : -8
2 = n3
SO jetzt habe ich auch noch einen Wert für n3... einsetzen...
1.) -10 + 4n2 + 24 = 0
2.) 6 + 4n2 +8 = 0
ein bisl umstellen.....
1.) 14 = -4n2 beides / : -4 n2= - (14/4) das sind also - (7/2)
2.) 14 = -4n2
Nun war leider keine Zeit mehr im Unterricht vorhanden und mir wurde noch gesagt von meiner Lehrerin dass ich das volle Ergebnis:
( 2 / - (7/2) / 2 ) nochmal mit 2 mal nehmen muss? WOZU?
Der Normalenvektor wäre dann ja ( 4 / -7 / 4 )
UND dann wurde mir noch gesagt, dass diese Herangehensweise sehr viel Zeit kosten würde und mir wurde ein sattes
Vektor ab X Vektor ac ? damit soll es auch gehen
an den Kopf geworfen ... damit kann ich auch nichts anfangen:
#Könnte mir einer von euch den kürzeren Weg erklären?
Und ich will beim besten Willen das Vektorzeichen in der Formeldatenbank nicht finden. Wäre nett wenn ihr mir ne cirka Orstangabe geben könntet wo ich diesen verdammigten HTML code finde^^ Danke schonmal im Vorraus
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> Gegeben ist eine dreiseitige Pyramide mit den Ecken A
> (3/-6/1), B (-2/-2/13), C (6/-2/5) und der Spitze S
> (-6/12/1)
>
> a) Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene durch
> A,B,C
>
> Es gibt dazu eine Möglichkeit die ich genutzt habe aber
> noch nicht vollständig bearbeitet habe weil ich mir
> unsicher war:
>
> Habe zuerst die Vektoren AB und AC bestimmt:
>
> Vektor AB = ( -2 / -2 / 13) - ( 3 / -6 / 1 ) = ( -5 / 4 /
> 12)
> Vektor AC = ( 6 / -2 / 5 ) - ( 3 / -6 / 1 ) = ( 3 / 4 /
> 4 )
>
> Warum genau AB und AC weiß ich selber nicht mehr genau?
> Ginge auch AC und BC ?
Ja !
> Naja ich habe danach dann die 2
> Gleichungen hier aufgestellt:
>
> Vektor AB * Vektor n = 0 und Vektor AC * Vektor n =
> 0
>
> 1.) -5n1 + 4n2 + 12n3 = 0
> 2.) 3n1 + 4n2 + 4n3 = 0
>
> hab erstmal für alle n1 .. n1 = 2 eingesetzt.
0 (Null) wäre auch eine günstige Wahl
> 1.) -10 + 4n2 +12n3 = 0
> 2.) 6 + 4n2 + 4n3 = 0
>
> jetzt 1.) minus! 2.)
>
> -16 + 8n3 = 0 / -8n3
> -16 = -8n3 / : -8
> 2 = n3
>
> SO jetzt habe ich auch noch einen Wert für n3...
> einsetzen...
>
> 1.) -10 + 4n2 + 24 = 0
> 2.) 6 + 4n2 +8 = 0
>
> ein bisl umstellen.....
>
> 1.) 14 = -4n2 beides / : -4 n2= - (14/4) das
> sind also - (7/2)
> 2.) 14 = -4n2
>
> Nun war leider keine Zeit mehr im Unterricht vorhanden und
> mir wurde noch gesagt von meiner Lehrerin dass ich das
> volle Ergebnis:
>
> ( 2 / - (7/2) / 2 ) nochmal mit 2 mal nehmen muss?
> WOZU?
Das muss man nicht, aber man kann es tun und erhält damit einen
ganzzahligen Normalenvektor. Die Länge des Normalenvektors ist
ja unerheblich, nur seine Richtung ist wesentlich.
> Der Normalenvektor wäre dann ja ( 4 / -7 / 4 )
>
> UND dann wurde mir noch gesagt, dass diese Herangehensweise
> sehr viel Zeit kosten würde und mir wurde ein sattes
>
> Vektor ab X Vektor ac ? damit soll es auch gehen
>
> an den Kopf geworfen ... damit kann ich auch nichts
> anfangen:
[mm] \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} [/mm] ist eben das vektorielle Produkt
ich nehme an, dass dies vorher behandelt worden ist...
> #Könnte mir einer von euch den kürzeren Weg erklären?
>
> Und ich will beim besten Willen das Vektorzeichen in der
> Formeldatenbank nicht finden. Wäre nett wenn ihr mir ne
> cirka Orstangabe geben könntet wo ich diesen verdammigten
> HTML code finde^^ Danke schonmal im Vorraus
>
>
hallo bliblub,
1.) Zuerst einmal zur Formeldarstellung: gleich unter dem Eingabefenster
kannst du auf die dort vorkommenden Beispielausdrücke klicken und
siehst dann die entsprechenden TeX-Codes, die du kopieren und für
deinen jeweiligen Zweck abändern kannst. Sehr einfach !
Beispiele kannst du dir ansehen, wenn du dir bei anderen Beiträgen
jeweils den "Quelltext" anzeigen lässt.
2.) Wenn eine Ebene durch drei Punkte A,B,C aufgespannt ist (sie dürfen
nicht auf einer Geraden liegen !), dann spielt es keine Rolle, ob du die
Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] oder zum Beispiel [mm] \overrightarrow{BC} [/mm] und [mm] \overrightarrow{CA} [/mm] nimmst,
um daraus einen Normalenvektor der Ebene zu ermitteln.
3.) Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) [mm] \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}
[/mm]
liefert dir sofort einen Vektor, der auf den beiden Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm]
senkrecht steht. Dies erspart dir also die Rechnung mit den beiden Skalarprodukten.
LG al-Chwarizmi
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