Normalverteilte ZV < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss folgendes berechnen mir fehlt aber der Ansatz:
Gegeben ist eine normalverteilte ZV X [mm] \sim [/mm] N [mm] (\mu,\sigma^2).
[/mm]
Bestimme:
[mm] E\exp(kX^2)
[/mm]
für eine konstante k>0.
Wäre froh über den Ansatz. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:38 Sa 05.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
wo ist das Problem?
[mm] $\operatorname{E}[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)\,dx$
[/mm]
$f_$ ist die Dichte der Verteilung von $X_$.
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:09 So 06.05.2012 | | Autor: | torstentw |
Hi,
ok ich hatte mich an dem Quadrat etwas gestört, aber das ist wenn man nicht nachdenkt :)
Danke!
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Leider ist das nicht so einfach.
ich habe dann [mm] E[exp(kX^2)] [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^\infty exp(kx^2) \frac{1}{\sigma \sqrt{2\Pi}} [/mm] exp [mm] (-\frac{1}{2} (\frac{x-\mu}{\sigma})^2) [/mm] dx
aber wie komme ich hier weiter?
Ich habe dann Y = [mm] \frac{X-\mu}{\sigma} [/mm] gesetzt mit Y [mm] \sim [/mm] N(0,1) und erhalte
[mm] \int_{-\infty}^\infty exp(k(y\sigma +\mu)^2) \frac{1}{ \sqrt{2\Pi}} [/mm] exp [mm] (-\frac{1}{2} (y)^2) [/mm] dy = [mm] \int_{-\infty}^\infty exp(k(y\sigma +\mu)^2) [/mm] dy
stimmt das?
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Wieso nicht?
Ich dachte mir:
[mm] \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{ \sqrt{2\Pi}} [/mm] $ exp $ [mm] (-\frac{1}{2} (y)^2) [/mm] dy =1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Wieso nicht?
>
> Ich dachte mir:
> [mm]\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{ \sqrt{2\Pi}}[/mm] [mm]exp[/mm]
> [mm](-\frac{1}{2} (y)^2)[/mm] dy =1
>
Lautet die torstentw'sche Regel [mm] $\int g(y)f(y)\,dy =\int g(y)\,dy\int f(y)\,dy$ [/mm] ? Die ist revolutionaer! 
vg Luis
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Klar man muss doch immer revolutionär denken :)
Ok aber hier komme ich ebenfalls nicht weiter:
$ [mm] \int_{-\infty}^\infty exp(k(y\sigma +\mu)^2) \frac{1}{ \sqrt{2\Pi}} [/mm] $ exp $ [mm] (-\frac{1}{2} (y)^2) [/mm] $ dy
=...= [mm] \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{ \sqrt{2\Pi}} exp\left[ \left(y + (\frac{\sigma \mu k}{k\sigma^2- \frac{1}{2}})^2\right)^2 + \frac{ \mu^2 k^2(1-\sigma^2)}{k\sigma^2- \frac{1}{2}} \right] [/mm] dy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Klar man muss doch immer revolutionär denken :)
Ich gratuliere zu deinem Selbstbewusstsein!
Ich uebersehe nicht, ab das Folgende weiterhilft: Schreib mal
[mm] $\int_{-\infty}^\infty \exp(k(y\sigma +\mu)^2) \frac{1}{ \sqrt{2\pi}} \exp (-\frac{1}{2} (y)^2)dy= \int_{-\infty}^\infty \exp(k(y\sigma +\mu)^2)\varphi(y)\,dy$
[/mm]
Wenn man [mm] $k(y\sigma +\mu)^2$ [/mm] ausmultipliziert gelangt man u.a. zu [mm] $\operatorname{E}[\exp(k\sigma Y^2)]$, [/mm] wobei $Y_$ standardnormalverteilt ist. Kann man das nicht auf die momenterzeugende Funktion einer [mm] $\chi^2(1)$-Verteilung [/mm] zurueckfuehren?
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ok hat grad klick gemacht ich versuche mal was danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mo 07.05.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ok aber das Problem ist doch dass ich beim
> ausmultiplizieren als nebenprodukt [mm]\exp ( 2ky\sigma \mu)[/mm]
> erhalte oder?
>
> d.h. ich habe
>
> [mm]exp ( k \sigma^2 y^2 + 2ky \sigma \mu + k\mu^2)[/mm]
Stimmt. Scheint kein gangbarer Weg zu sein ...
Sorry, bin mit meinem Latein am Ende.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:32 Di 08.05.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ein letzter Versuch:
Schau mal hier auf Seite 330ff:
@BOOK{Graybill83,
title = {Matrices with Applications in Statistics},
publisher = {Wadsworth},
year = {1983},
author = {F. A. Graybill},
address = {Belmont, California},
}
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Mi 09.05.2012 | | Autor: | torstentw |
Vielen Dank,
das werde ich machen!
Grüße
Torsten
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wo ist denn die Dichte geblieben? Die hast du doch wohl hoffentlich nicht "rausintegriert"?
