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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 So 08.01.2012 | | Autor: | nafra |
| Aufgabe | | Das Gewicht (in dag) bestimmter Orangen ist verteilt nach N(21,5). Wieviele Stücke muss man in eine Schachtel geben, wenn man mit Wahrscheinlichkeit 0.95 mindestens 10 kg Füllgewicht haben möchte? |
Hallo,
könnte mir jemand helfen einen Ansatz zur Lösung zu finden? In meinem Skript ist die Normalverteilung nicht gerade ausführlich erklärt und der Wikipedia-Eintrag hilft mir auch nicht wirklich weiter!
Vor allem weiß ich nicht, wie ich zu der Anzahl der Stücke kommen soll!
Danke und lg
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 So 08.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo nafra,
wenn Deine Verteilung N(21,5) so wie üblich gelesen wird, würde dies bedeuten, dass eine Orange einen Erwartungswert von 21 kg besitzt (ganz schöner Brummer). Das glaube ich jetzt doch nicht so ganz. Schau doch bitte noch mal nach.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 So 08.01.2012 | | Autor: | nafra |
Danke für die rasche Antwort!
Die Einheit einer Orange sind dag, also 210 Gramm für eine Orange!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 So 08.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Diese Einheit habe ich bisher noch nicht gekannt. Trotzdem will ich sicherheitshalber nochmal zurückfragen: Das würde also bedeuten, dass eine Orange im Mittel über 4 kg wiegt?
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 08.01.2012 | | Autor: | nafra |
Wie kommen Sie auf 4 kg pro Orange?
Ich dachte 5 sei die Varianz, also Abweichung, und 21 der Erwartungswert.
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 So 08.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo nafra,
na ja, bei 21 daq a 210 g komme ich auf 4,41 kg.
Viele Grüße,
Infinit
P.S.: In diesem Forum langt ein "Du" !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 So 08.01.2012 | | Autor: | nafra |
Da habe ich mich wohl missverständlich ausgedrückt: 21 dag = 210 Gramm!
Also N(2190,5). Dag ist eine österreichische Einheit, daher vielleicht nicht so bekannt!
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 So 08.01.2012 | | Autor: | nafra |
Entschuldigung, habe mich vertippt: N(210,5)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 So 08.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
wir hätten also einen Erwartungswert von 210 g und eine Varianz von 5 g im Quadrat. Ist das mit N(21,5) gemeint?
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:11 So 08.01.2012 | | Autor: | nafra |
Ich denke man muss in diesem Fall bei der Einheit dag bleiben, da die Varianz ja auch von den dag abhängt!
Die Einheit ist ja nicht so wichtig. Man kann die dag in kg umrechnen, indem man die Umrechnung 1 dag = 0,01 kg berücksichtigt!
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 So 08.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo nafra,
nach dem Hinweis auf eine österreichische Einheit vermute ich mal, dass dies die Abkürzung für Dekagramm ist. Aber jetzt kann es weitergehen.
Was man wissen sollte, ist, dass Erwartungswert und Varianz einer normalverteilten Größe sich aus den Summen der Einzelgrößen zusammensetzt. Als Bezeichnungen für die Normalverteilung des Gewichts einer Orange nehme ich mal die bekannten Abkürzungen [mm] \mu [/mm] für den Erwartungswert und [mm] \sigma^2 [/mm] für die Varianz.
Wir wissen eben noch nicht, wieviele Orangen man für den 10 kg-Sack braucht, aber wir können schon sagen, dass die neue Zufallsvariable wieder normalverteilt ist, und der Erwartungswert für diese neue Zufallsvariable, ich nenne sie mal [mm] Z [/mm] folgendermaßen aussieht:
[mm] E(Z) = n \mu [/mm] und
[mm]Var(Z) = n^2 \sigma^2 [/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, dass man wenigstens auf 10 kg Gesamtgewicht kommt, lässt sich ausdrücken als
[mm] P(Z) = 1 - (Z \leq 10)= 0,95 [/mm]
Das lässt sich umschreiben zu
[mm] P(Z)= 0,95 = 1 - \Phi(\bruch{10 - n\mu}{\wurzel{n^2 \sigma^2}}) [/mm]
Hierbei ist [mm] \Phi [/mm] der tabellierte Wert der Normalverteilung. Obige Gleichung kann man nun nach n auflösen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 So 08.01.2012 | | Autor: | nafra |
Danke für die Hilfe!
Ich habe da noch eine Frage: Wieso kann man sagen, dass die neue Zufallsgröße auch wieder normalverteilt ist?
Kann man die Zufallsgröße Z in Worten ausdrücken, als Anzahl der Orangen, die man für eine Schachtel mit minimal 10 kg benötigt?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 08.01.2012 | | Autor: | Infinit |
Die Summenverteilung ergibt sich aus dem Gesetz der großen Zahlen, hier kann man Grenzwertbetrachtungen durchführen, und stellt fest, dass die Summe solcher Verteilungen mit sehr guter Näherung normalverteilt sind.
Um die Anzahl n zu bestimmen, musst Du doch nur die Gleichung auflösen:
[mm] \Phi(\bruch{10-n \mu}{n\sigma}) = 0,05 [/mm]
Wenn Du dies in einer Tabelle nachschlägst, kommst Du darauf, dass das Argument der Phi-Funktion den Wert 1,645 besitzen muss. Dann kannst Du das Ganze auflösen.
Viele Grüße,
Infinit
P.S.: Wenn ich mich nicht verrechnet habe, sollten es schon 46 Orangen sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 So 08.01.2012 | | Autor: | nafra |
Danke, jetzt habe ich verstanden wie es funktioniert!
Lg
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