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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Do 31.05.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Bei der Herstellung von Kondensatoren sei die Kapazität (gemessen [mm] \muF) [/mm] in eine normalverteilte
Zufallsgröße mit den Parametern [mm] \mu [/mm] = 5 und [mm] \sigma [/mm] = 0,02.
Welcher Ausschussanteil ist zu erwarten, wenn die Kapazität
a) mindestens 4,98
b) höchstens 5,05 betragen soll?
c) um maximal 0,03 vom Sollwert 5 abweichen darf |
Hi Leute!
Hier meine Lösung:
a) $P(x>4,98) = 1 - P(x [mm] \leq [/mm] 4,98) = ... = 0,8413 [mm] \Rightarrow 84,12\%$
[/mm]
b) $P(x<5,05) = 1 - P(x [mm] \geq [/mm] 5,05) = ... = 0,0062 [mm] \Rightarrow [/mm] 0,62 [mm] \%$
[/mm]
Stimmt das soweit?
c) Hier bei Teilaufgabe c) weiß ich aber jetzt von alleine nicht mehr so wirklich weiter. Könnt ihr mir helfen?
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Hallo,
> a) [mm]P(x>4,98) = 1 - P(x \leq 4,98) = ... = 0,8413 \Rightarrow 84,12\%[/mm]
das ist falsch. Aber wie kommst du auf den Wert, denn er hat mit dem richtigen Eregnis doch einiges zu tun. Flüchtigkeitsfehler?
> b) [mm]P(x<5,05) = 1 - P(x \geq 5,05) = ... = 0,0062 \Rightarrow 0,62 \%[/mm]
Das ist Unsinn (und damit auch falsch  ). Den Wert für [mm] P(X\le{5.05}) [/mm] kann man doch direkt der Tabelle entnehmen.
> Stimmt das soweit?
>
> c) Hier bei Teilaufgabe c) weiß ich aber jetzt von alleine
> nicht mehr so wirklich weiter. Könnt ihr mir helfen?
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit [mm] P(4.97\le{X}\le{5.03}). [/mm] Verwende hier die Beziehung
[mm] P(a\le{X}\le{b})=P(X\le{b)}-P(X\le{a)}
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Do 31.05.2012 | | Autor: | bandchef |
$ P(x>4,98) = 1 - P(x [mm] \leq [/mm] 4,98) = 1 - [mm] \left( \frac{4,98-5}{0,02} \right) [/mm] = 1 - [mm] \phi(-1) [/mm] = 1 - (1 - [mm] \phi(1)) [/mm] = 0,8413 [mm] \Rightarrow 84,12\% [/mm] $ So komm ich da drauf.
Warum kann ich b) direkt ablesen?
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Hallo,
zunächst zu b): die Wahrscheinlichkeit ist von der Form [mm] P(X\le{k}) [/mm] und die Grenze liegt oberhalb des Erwartungswertes, also ist das zugehörige Argument der [mm] \Phi-Funktion [/mm] positiv.
Zu a): Asche auf mein Haupt, Ergebnis respektive Vorgehensweise sind hier richtig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Do 31.05.2012 | | Autor: | bandchef |
zu b)
$P(x < 5,05) = [mm] 1-P(x\geq [/mm] 5,05) = 1 - F(5,05) = [mm] 1-F\left(\frac{5,05-5}{0,02}\right) [/mm] = 1- [mm] \phi\left(\frac25\right) [/mm] = 0,0062 [mm] \Rightarrow 0,62\%$
[/mm]
Ich verstehe nicht warum ich das nicht auch so berechnen kann?
zu c)
$P(a [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] b) = P(4,97 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] (5+0,03)) = P(x [mm] \leq [/mm] 5,03) - P(x [mm] \leq [/mm] 4,97) = F(5,03) - F(4,97) = [mm] F\left(\frac{5,03-5}{0,02}\right) [/mm] - [mm] F\left(\frac{4,97-5}{0,02}\right) [/mm] = ... ?$
Swoeit richtig?
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Hallo,
> zu b)
>
> [mm]P(x < 5,05) = 1-P(x\geq 5,05) = 1 - F(5,05) = 1-F\left(\frac{5,05-5}{0,02}\right) = 1- \phi\left(\frac25\right) = 0,0062 \Rightarrow 0,62\%[/mm]
>
> Ich verstehe nicht warum ich das nicht auch so berechnen
> kann?
Hab ich dir doch beantwortet.
[mm] U=\bruch{X-\mu}{\sigma}=2.5 [/mm] => [mm] P(X\le{5.05})=\Phi(2.5)\approx{0.9938}
[/mm]
> zu c)
> [mm]P(a \leq X \leq b) = P(4,97 \leq X \leq (5+0,03)) = P(x \leq 5,03) - P(x \leq 4,97) = F(5,03) - F(4,97) = F\left(\frac{5,03-5}{0,02}\right) - F\left(\frac{4,97-5}{0,02}\right) = ... ?[/mm]
>
> Swoeit richtig?
Katastrophal aufgeschrieben, aber soweit richtig.
In der Ruhe liegt die Kraft.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:30 Do 31.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Dann kommen also bei b 99,38% raus?
> $ P(a [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] b) = P(4,97 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] (5+0,03)) = P(X [mm] \leq [/mm] 5,03) - P(X [mm] \leq [/mm] 4,97) = F(5,03) - F(4,97) = [mm] F\left(\frac{5,03-5}{0,02}\right) [/mm] - [mm] F\left(\frac{4,97-5}{0,02}\right) [/mm] = [mm] \phi\left(\frac{3}{2}\right) -\phi\left(-\frac{3}{2}\right) [/mm] = [mm] 86,64\%$
[/mm]
Was ist an meiner Notation katastrophal?
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Hallo,
> Dann kommen also bei b 99,38% raus?
ja.
> Was ist an meiner Notation katastrophal?
Die Gleichheiten Nr 3 und Nr 4 sowie die Verwendung von F anstatt [mm] \Phi.
[/mm]
Das Resultat passt aber.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Do 31.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Wie hätte ich das Katastrophale besser schreiben sollen?
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Hallo,
da steht ja bspw. so etwas wie
[mm] F(4.97)=F\left(\bruch{4.97-5}{0.02}\right)
[/mm]
Das ist aber Unsinn. Außerdem, und ich schrieb dir das schon, weshalb verwendest du nicht [mm] \Phi [/mm] an Stelle von F?
Was ich auch nicht so ganz verstehe, warum du jeweils nach wenigen Minuten nachfragst, anstatt erstmal die Antworten gründlich zu verarbeiten? An deinen Fragen sieht man nämlich, dass du das nicht tust.
Mir geht das ja nicht darum, jemand zu belehren, aber wenn du diese Sachen hier im Rahmen eines Studiums frägst, dann kann ich dir nur in deinem eigenen Interesse raten: gewöhne dir diese Hudelei ganz schnell ab, dafür bekommt man irgendwann granatenmäßig auf die Mütze, meist früher als spät!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Do 31.05.2012 | | Autor: | bandchef |
Warum ich so eine katastrophale Notation hab, liegt auch evtl. an Aufgaben, die wir so in der Schule aufgeschrieben hab. Ich möchte mich hiermit natürlich keines Falls aus der Auffaire ziehen. Ich werd's in Zukunft besser machen...
Passts so besser:
[mm] $\phi [/mm] = [mm] \frac{x-\mu}{\sigma}$
[/mm]
$ P(a [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] b) = P(4,97 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] (5+0,03)) = P(X [mm] \leq [/mm] 5,03) - P(X [mm] \leq [/mm] 4,97) = [mm] \phi(5,03) [/mm] - [mm] \phi(4,97) [/mm] = [mm] \phi\left(\frac{5,03-5}{0,02}\right) [/mm] - [mm] \phi\left(\frac{4,97-5}{0,02}\right) [/mm] = [mm] \phi\left(\frac{3}{2}\right) -\phi\left(-\frac{3}{2}\right) [/mm] = [mm] 86,64\% [/mm] $
Mal noch eine dumme Frage. Was ist eigentlich das [mm] \phi? [/mm] In meinen Unterlagen kommt das so genau nicht raus. Ich weiß (laut Wikipedia) nur, dass [mm] \phi [/mm] eigentlich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Kommt dieses [mm] \phi [/mm] das ich hier verwende raus, wenn man die Verteilungsfunktion integriert hat?
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Hallo,
jetzt hast du zwar [mm] \Phi [/mm] anstatt F geschrieben, aber der eigentliche Fehler steht immer noch da: es ist (hier, bei dieser Aufgabe) bspw.
[mm] P(X\le{5.05})=\Phi\left(\bruch{5.05-5}{0.02}\right)
[/mm]
aber keinesfalls gleich [mm] \Phi(5.05)!
[/mm]
Die [mm] \Phi-Funktion [/mm] ist dabei nichts anderes als die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Da man diese ja bekanntlich nicht geschlossen integralfrei darstellen kann, hat man sich in der Vor-CAS-Ära mit diesen Tabellen beholfen, ähnlich wie bei Logarithmen mit den Logarithmentafeln. Und da man mit dieser Verteilung bekanntlich viel symbolisch rechnen muss, hat sie eben ein eigenes Symbol bekommen.
Gruß, Diophant
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