Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mo 31.12.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Die Laktationsleistung bei einem weiblichen Rind aus einer spezielle Population (Milchleistung wischen zwei Geburten in kg) lasse sich ausreichend genau durch eine [mm] N(4000,10^6) [/mm] - verteilte Zufallsvariable beschreiben.
a) Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus der Population herausgegriffene Kuh eine Laktationsleistung von
I) weniger als 3000 kg hat
II) mehr als 6000 kg hat
b) Welche Laktationsleistung muss eine Kuh mindestens erbringen, um nicht zu den schlechtesten 33% dieser Population (in Bezug auf die Laktationsleistung) zu gehören? |
Hi Leute,
Aufgabe a) habe ich schon gelöst. Im ersten Fall hab ich eine Wahrscheinlichkeit von 15,9% und im zweiten Fall eine Wahrscheinlichkeit von 2,28%.
Aufgabe b) ist nun das Problem. Ich weiß mittlerweile, dass der Ansatz so lauten muss:
[mm] $\red{1-}\Phi\left( \red{-}\frac{x-4000}{\sqrt{10^6}} \right) [/mm] = 0,33$
Ich hätte den Ansatz aber so gemacht: [mm] $\Phi\left( \frac{x-4000}{\sqrt{10^6}} \right) [/mm] = 0,33$
Natürlich ist mein Ansatz falsch. Aber wie um alles in der Welt kommt man dann speziell auf "1-" (also Komplement-Ereignis) und auf das - vor dem Bruch innerhalb der [mm] \Phi [/mm] -Funktion?
Kann mir das jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Mo 31.12.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
was Du suchst bei Aufgabe b ist die untere Grenze für die Laktationsleistung einer Kuh, um nicht zum schlechtesten, sprich untersten, Drittel zu gehören.Dies entspricht der Fläche unter der Glockenkurve, die bei einer noch unbekannten Größe x beginnt und bis Unendlich läuft. Was Du aufgrund der Normalverteilung weisst, ist, dass mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit, die Kuh 4000 kg oder weniger liefert. Die Grenze x, die wir suchen, muss also unterhalb des Mittelwertes von 4000 kg liegen. Die [mm] \Phi [/mm]-Funktion liefert Dir die Wahrscheinlichkeit bei zu einer Obergrenze x bei einer Verteilungsfunktion f(x).
[mm] \Phi(x) = \int_{-\infty}^x f(x) \, dx [/mm].
Wir suchen aber die Gegenwahrscheinlichkeit, also die Fläche zwischen dem unbekannten Wert x und Unendlich. Die Gesamtauftretenswahrscheinlichkeit für irgendein Wert ist 1, hiervon ziehst Du nun die Fläche ab, die zwischen -Unendlich und dem Wert x liegt.
[mm] P(X > x)= 1 - P (X \leq x) = 1 - \Phi(\bruch{x-4000}{\wurzel{10^6}}) [/mm]
Der x-Wert, das hatten wir oben festgestellt, muss jedoch weniger als 4000 kg sein und somit wäre das Argument der Phi-Funktion negativ. Die Funktion ist jedoch nur für positive Werte tabelliert, aber hier hilft die Symmetrie der Normalverteilung weiter, denn es gilt wegen gerade dieser Symmetrie
[mm] \Phi(-u) = 1 - \Phi(u) [/mm]
Setzen wird dies nun mal alles ein, so bekommt man
[mm] P(X >x ) = 1 - \Phi(\bruch{x-4000}{\wurzel{10^6}}) = 0.67 [/mm]
oder auch
[mm] \Phi(u) = \Phi(\bruch{x-4000}{\wurzel{10^6}}) = 0,33 [/mm]
Das läuft also auf Dein Ergebnis raus in diesem Fall, ich nehme aber mal an, dass Du nicht diesen Weg in Deinem Kopf hattest, den ich hier beschrieben habe, sondern Du hast die Funktion so hingeschrieben, wie man das normalerweise macht, sonst hättest Du ja kaum gefragt.
Jetzt kommt noch der Punkt mit der Phi-Funktion hinzu, dass diese nur für positive Argumente tabelliert ist und für das Argument 0 der Wert bereits 0,5 beträgt, also mehr als wir hier ausgerechnet haben.
Das ist aber nicht weiter schlimm, denn aufgrund der Symmetrie lässt sich die Gleichung weiter umschreiben zu
[mm] \Phi(u) = \Phi (- \bruch{(x-4000)}{\wurzel{10^6}})= 0,67 [/mm]
Wenn ich nun das Argument nachschaue, so komme ich auf einen Wert von ungefähr 0,955 und das ergibt dann im Vergleich der Argumente
[mm] 0.955 = - \bruch{(x-4000)}{\wurzel{10^6}} [/mm]
und das aufgelöst ergibt einen x-Wert von 3045 kg.
Hier spielt also alles mögliche rein, die Mathematik ist nicht sehr schwer, aber man muss aufpassen, was man tut.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Di 01.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine ausführliche Antwort! Das erste was mir auffällt:
> Wenn ich nun das Argument nachschaue, so komme ich auf einen Wert von ungefähr 0,955
Also, wenn ich in meiner Tabelle unter den Werten des Arguments suche, komme ich bei 0,6700 auf 0,44 (quasi aus den Werten auf den Rändern zusammengebaut).
Ich hab nun selbst nochmal weiter dran rumgebastelt:
[mm] $\Rightarrow [/mm] P(X > x) = 0,33$ So würde ich es formulieren, wenn ich die Aufgabe umsetzen würde
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 1-P(X [mm] \leq [/mm] x) = 0,33$
[mm] $\Leftrightarrow 1-\Phi\left(\frac{x-4000}{\sqrt{10^6}}\right) [/mm] = 0,33$ Kann man an dieser Stelle die invertierte Funktion von [mm] \Phi [/mm] als [mm] \Phi^{-1} [/mm] bezeichnen?
[mm] $\Leftrightarrow \frac{x-4000}{\sqrt{10^6}} [/mm] = [mm] \Phi(0,67)^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \frac{x-4000}{\sqrt{10^6}} [/mm] = 0,44$
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] x= 4440$
Ich weiß, dass das falsch ist. Aber ich kapier einfach nicht, warum dieses - noch innerhalb der [mm] \Phi [/mm] -Funktion vor den Bruch hingehört! Das hab ich leider auch nicht aus deinem Post verstanden...
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Hallo bandchef,
> Danke für deine ausführliche Antwort! Das erste was mir
> auffällt:
>
> > Wenn ich nun das Argument nachschaue, so komme ich auf
> einen Wert von ungefähr 0,955
>
> Also, wenn ich in meiner Tabelle unter den Werten des
> Arguments suche, komme ich bei 0,6700 auf 0,44 (quasi aus
> den Werten auf den Rändern zusammengebaut).
>
>
>
> Ich hab nun selbst nochmal weiter dran rumgebastelt:
>
> [mm]\Rightarrow P(X > x) = 0,33[/mm] So würde ich es formulieren,
> wenn ich die Aufgabe umsetzen würde
>
> [mm]\Leftrightarrow 1-P(X \leq x) = 0,33[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow 1-\Phi\left(\frac{x-4000}{\sqrt{10^6}}\right) = 0,33[/mm]
> Kann man an dieser Stelle die invertierte Funktion von [mm]\Phi[/mm]
> als [mm]\Phi^{-1}[/mm] bezeichnen?
Ja.
> [mm]\Leftrightarrow \frac{x-4000}{\sqrt{10^6}} = \Phi(0,67)^{-1}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \frac{x-4000}{\sqrt{10^6}} = 0,44[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow x= 4440[/mm]
>
> Ich weiß, dass das falsch ist. Aber ich kapier einfach
> nicht, warum dieses - noch innerhalb der [mm]\Phi[/mm] -Funktion vor
> den Bruch hingehört! Das hab ich leider auch nicht aus
> deinem Post verstanden...
Die Zahl x muß kleiner 4000 sein,
da die Wahrscheinlichkeit 0,33 kleiner als 0,5 ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 01.01.2013 | | Autor: | bandchef |
> Die Zahl x muß kleiner 4000 sein, da die Wahrscheinlichkeit 0,33 kleiner als 0,5 ist.
Hm, das ist eine neue Erkenntnis für mich. Aber, dass das Ergebnis falsch ist, ist mir klar. Was ich einfach noch gerne wissen möchte, ist, woher dieses Minus vor Bruch innerhalb der [mm] \Phi-Funktion [/mm] kommt!
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Hallo bandchef,
> > Die Zahl x muß kleiner 4000 sein, da die
> Wahrscheinlichkeit 0,33 kleiner als 0,5 ist.
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> Hm, das ist eine neue Erkenntnis für mich. Aber, dass das
> Ergebnis falsch ist, ist mir klar. Was ich einfach noch
> gerne wissen möchte, ist, woher dieses Minus vor Bruch
> innerhalb der [mm]\Phi-Funktion[/mm] kommt!
Nun, das Minuszeichen kommt daher, daß das Argument
der [mm]\Phi-Funktion[/mm] negativ ist, da x < 4000.
Die [mm]\Phi-Funktion[/mm] ist aber, wie mein Vorredner
schon erwähnt hat, nur für positive Argumente definiert.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mi 02.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
Dein Denkansatz, mit dem Du an die Lösung dieser Aufgabe rangehst, ist leider verkehrt, da Du Dir nicht klar machst, was eigentlich gesucht wird. Wenn solch eine Kuh nicht zu den unteren 33% gehören soll, so muss sie demzufolge zu den oberen 67% gehören. Du suchst einen x-Wert der gerade so liegt, dass die Fläche zwischen diesem x-Wert und Unendlich 0,67 beträgt.
Viele Grüße,
Infinit
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