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Normen: Beweis einer Eigenschaft
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 So 08.01.2006
Autor: Karl_Pech

Hallo Allerseits!


Eine Norm ist ja folgendermaßen definiert:


[mm]\left|\left|\cdot{}\right|\right|: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}[/mm] heißt Norm auf [mm]\mathbb{R}^n[/mm], wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:


[mm](1)\;\left|\left|x\right|\right| = 0 \gdw x = 0[/mm]

[mm](2)\;\left|\left|\alpha x\right|\right| = \left|\alpha\right|\left|\left|x\right|\right|\quad\forall x \in \mathbb{R}^n\quad\forall\alpha \in \mathbb{R}[/mm]

[mm](3)\;\left|\left|x+y\right|\right| \leqslant \left|\left|x\right|\right| + \left|\left|y\right|\right|\quad\forall x,y \in \mathbb{R}^n[/mm]


Wie zeige ich nun alleine aus diesen drei Eigenschaften folgernd, daß


[mm]\left|\left|x\right|\right| > 0\quad\forall x \ne 0[/mm]?



Was einem ja sofort einfällt ist Folgendes:


[mm]\left|\left|x\right|\right| = \left|\left|\sum_{i=1}^n{\alpha_ie_i}\right|\right|[/mm].


Ich stelle [mm]x[/mm] also als eine Linearkombination aus der Einheitsbasis von [mm]\mathbb{R}^n[/mm] dar.


Durch [mm]n-1\texttt{--malige}[/mm] Anwendung von Regel (3) und anschließender Anwendung von (2) erhalten wir:


[mm]\left|\left|x\right|\right| \leqslant \sum_{i=1}^n{\left|\alpha_i\right|\left|\left|e_i\right|\right|}[/mm]


Aber ich fürchte, daß ich hier generell anders hätte anfangen sollen, richtig? Im Moment fällt mir aber kein völlig anderer Ansatz ein...


Wäre schön, wenn man mir helfen könnte. ;-)



Liebe Grüße
Karl
[user]




        
Bezug
Normen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 So 08.01.2006
Autor: Stefan

Lieber Karl!

Wegen (1) müsste es andernfalls ein $x [mm] \ne [/mm] 0$ mit [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] <0$ geben. Dann wäre nach (2) auch [mm] $\Vert [/mm] -x [mm] \Vert [/mm] = |-1| [mm] \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] <0$ und daher nach (1) und (3):

$0 = [mm] \Vert [/mm] 0 [mm] \Vert [/mm] = [mm] \Vert [/mm] x + [mm] (-x)\Vert \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] + [mm] \Vert [/mm] -x [mm] \Vert [/mm] <0$,

Widerspruch.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Normen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:16 So 08.01.2006
Autor: Karl_Pech

Lieber Stefan!


> [mm]0 < 0[/mm] ;-)


Danke für deine Hilfe! Auf einen Widerspruchsbeweis bin ich gar nicht gekommen. Ich versuch's immer direkt. [peinlich] Aber zumindest habe ich den Beweis verstanden. Vor nicht allzu langer Zeit wäre dem nicht so gewesen...


Der Schlüssel zum Widerspruch ist also der Betrag: [mm]\left|-1 \right| = 1[/mm]. Ein einfaches aber zugleich "schlagkräftiges" Argument...



Liebe Grüße
Karl
[user]




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