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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass durch
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} [/mm] = [mm] |x_{1}| [/mm] + [mm] |x_{2}| \qquad \forall [/mm] x = [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}) \in \mathbf{R}^2
[/mm]
eine Norm über [mm] \mathbf{R}^2 [/mm] definiert ist.
Wie sieht die "Einheitskugel" [mm] \{ x \in \mathbf{R}^2: \parallel x \parallel_{1} = 1 \} [/mm] aus? (Sog. 1-Norm). |
Habe schon einiges versucht. Komme allerdings irgendwie immer auf 0!
Zunächst:
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] im [mm] \mathbf{R}^2 [/mm] ist ja [mm] \wurzel{x_{1}^2 + x_{2}^2}
[/mm]
also habe ich gleichgesetzt:
[mm] \wurzel{x_{1}^2 + x_{2}^2} [/mm] = [mm] |x_{1}| [/mm] + [mm] |x_{2}|
[/mm]
daraus dann:
[mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] x_{2}^2 [/mm] = [mm] x_{1}^2 [/mm] + [mm] 2|x_{1}||x_{2}| [/mm] + [mm] x_{2}^2
[/mm]
und jetzt:
0 = [mm] 2|x_{1}||x_{2}|
[/mm]
ich werde aus dem einfach nicht schlau! Hab ich nun irgenwas bewiesen, oder nicht? Übrigens, auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia - Normierter Raum kann man nachlesen:
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{1} \quad \le \quad \wurzel{n} \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}
[/mm]
Wie passt das ins Konzept? (vielleicht am besten direkt beim Link nachlesen!)
Grüße, Arno.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Quetzcoatl,
> Wie sieht die "Einheitskugel" [mm]\{ x \in \mathbf{R}^2: \parallel x \parallel_{1} = 1 \}[/mm]
> aus? (Sog. 1-Norm).
Das hast du dir ja schon durch diesen Link selbst beantwortet:
> Übrigens, auf
> Wikipedia - Normierter Raum
> kann man nachlesen:
> Zeigen Sie, dass durch
>
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel_{1}[/mm] = [mm]|x_{1}|[/mm] + [mm]|x_{2}| \qquad \forall[/mm]
> x = [mm](x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}) \in \mathbf{R}^2[/mm]
>
> eine Norm über [mm]\mathbf{R}^2[/mm] definiert ist.
> Habe schon einiges versucht. Komme allerdings irgendwie
> immer auf 0!
>
> Zunächst:
> [..]
> ich werde aus dem einfach nicht schlau! Hab ich nun
> irgenwas bewiesen, oder nicht?
Leider kann ich dir nicht sagen, was genau du "bewiesen" hast (wolltest du eventuell eine Äquivalenz zur euklidischen Norm nachweisen oder so?). Jedenfalls sollte es hier reichen die Normaxiome zu überprüfen:
Angenommen es gilt [mm]\left\|x\right\|_1 = 0\;\forall x\in\mathbb{R}^2[/mm]. Dann ist also [mm]\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=0[/mm]. Wegen [mm]\left|x_i\right| > 0[/mm] für [mm]x_i \ne 0[/mm] (wg. Betrag), kann diese Gleichung nur für [mm]x_i = 0[/mm] erfüllt sein.
Angenommen [mm]\left|x_1\right|+\left|x_2\right|=0[/mm]. Dann ist klar, daß [mm]\left\|x\right\|_1 = 0[/mm], weil wir's so definiert haben. Also sind die Aussagen äquivalent.
Zu zeigen, daß [mm]\left\|\alpha x\right\|_1 = \left|\alpha\right|\left\|x\right\|_1[/mm] ist, überlasse ich dir.
Und dann ist da noch Axiom 3 die Norm-Dreiecksungleichung. Aber da mußt du auch nur einsetzen und sieht, daß sie wegen [mm]\left|x_i+y_i\right|\le\left|x_i\right|+\left|y_i\right|[/mm] gelten muß. (Die linke Seite wird für den Fall [mm]\left|x_i\right| > \left|y_i\right|\wedge y_i < 0\wedge x_i > 0[/mm] echt kleiner als die Rechte).
Viele Grüße
Karl
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